Multiplicação e divisão de números racionais

Multiplicação

Produto de um número inteiro por um número racional

Quando multiplicamos dois números naturais $n$​ e $m$​, o seu produto $n\times m$​ é o resultado de somar o número $n$​ a si mesmo $m$​ vezes (ou o número $m$​ a si mesmo, $n$​ vezes).

Se $\dfrac{p}{q}$​ for um número racional, o produto $n\times \dfrac{p}{q}$​ é também a soma de $\dfrac{p}{q}$ a si mesmo, $n$​ vezes. Então,

​$n\times \dfrac{p}{q}=\overbrace{\dfrac{p}{q}+\space \ldots \space+\dfrac{p}{q} }^{n\ \mathrm{vezes}}=\dfrac{n\times p}{q}$ 

Se $n$ for agora um número inteiro negativo, definimos

​$n\times \dfrac{p}{q}=(-n)\times\Bigg(-\dfrac{p}{q}\Bigg)$ 

Ou seja, somamos a fração $-\dfrac{p}{q}$​ a si mesma $|n|$​ vezes.

Exemplo:

• ​$3 \times \dfrac{5}{6}=\dfrac{3\times 5}{6}=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}$​​
  
• $(-5)\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=5\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{5\times 1}{3}=\dfrac{5}{3}$​​

Produto de dois números racionais

Se agora tiveres dois números racionais $\dfrac{p}{q}$​ e $\dfrac{s}{t}$​, definimos o seu produto como

​

​$\dfrac{p}{q}\times \dfrac{t}{s}=\dfrac{p\times t}{q\times s}$ 

Nota: Como $q\neq 0$​ e $s\neq 0$​, o produto $q\times s\neq 0$​.

Exemplo:

• $-\dfrac{3}{7}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{(-3)\times 2}{7\times 3}=-\dfrac{2}{7}$​​
  
• ​$-\dfrac{3}{5}\times \left(-\dfrac{4}{7}\right)=\dfrac{(-3)\times (-4)}{5\times 7}=\dfrac{12}{35}$​​
  

Nota: Quando multiplicamos um número racional $\dfrac{p}{q}$​ por $-1$​ obtemos o seu simétrico: $\left|(-1)\times \dfrac{p}{q}\right|=\left|\dfrac{-p}{q}\right|=\dfrac{p}{q}$​.

Divisão

Quando temos um número racional $\dfrac{p}{q}$​ e um número racional não nulo $\dfrac{s}{t}$​ (ou seja, $s\neq 0$​), definimos o quociente de $\dfrac{p}{q}$​ por $\dfrac{s}{t}$​ como

​$\dfrac{\frac{p}{q}}{ \frac{s}{t}}=\dfrac{p\times t}{q\times s}$ 

Observa que o denominador é diferente de zero porque $q\neq 0$​ e $s\neq 0$​. 

Inversos

Dois números racionais dizem-se inversos um do outro quando o seu produto for igual a 1.

Exemplo:

Como  $\dfrac{2}{5}\times \dfrac{5}{2}=\dfrac{2\times 5}{5\times 2}=1$, $\dfrac{2}{5}$​ é inverso de $\dfrac{5}{2}$​. De uma forma geral, se $\dfrac{p}{q}$ é um número racional não nulo, o seu inverso é $\dfrac{q}{p}$​ porque

​

 $\dfrac{p}{q}\times \dfrac{q}{p}=\dfrac{\cancel{p}\times q}{q\times \cancel{p}}=\dfrac{q}{q}=1$​

Propriedades importantes

A multiplicação de números racionais apresenta muitas propriedades úteis. Na tabela seguinte, $a,b,c\in \mathbb{Q}$ são números racionais.