Propriedades das raízes quadrada e cúbica

Definição

Propriedades das raízes quadrada e cúbica são um conjunto de regras especiais que nos ajudam a resolver expressões com essas raízes.

Propriedades da raiz quadrada

Produto e quociente de quadrados perfeitos

Se tivermos dois números, $q$ e $p$ , que sejam o quociente de quadrados perfeitos, então $q\times p$ ou $\dfrac{q}{p}$ também serão quadrados perfeitos.

Exemplo

$\dfrac{6^2}{2^2}$ e $\dfrac{5^2}{4^2}$ são quocientes de quadrados perfeitos, assim $\dfrac{6^2}{2^2}\times\dfrac{5^2}{4^2}=\dfrac{(6\times5)^2}{(2\times4)^2}=\Bigg(\dfrac{30}{8}\Bigg)^2$ também é um quadrado perfeito.

Raiz quadrada de um produto e de um quociente

Para multiplicarmos ou dividirmos duas raízes quadradas $q$ e $p$ , podemos fazê-lo separadamente por duas raízes ou juntá-las dentro da mesma raiz.

$\sqrt{q}\times\sqrt{p}=\sqrt{q\times p}$ e $\dfrac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}=\sqrt{\dfrac{q}{p}}$

Exemplo

$\sqrt{16}\times\sqrt{4}=4\times2=8=\sqrt{16\times4}$

$\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}=\dfrac{6}{2}=3=\sqrt{\dfrac{36}{4}}$

Propriedades da raiz cúbica

Produto e quociente de cubos perfeitos

Se dois números, $q$ e $p$ , que sejam iguais a cubos perfeitos ou quociente de cubos perfeitos, então $q\times p$ e $\dfrac{q}{p}$ também são cubos perfeitos.

Exemplo

$\dfrac{5^3}{3^3}$ e $\dfrac{4^3}{2^3}$ são quocientes de cubos perfeitos, assim $\dfrac{5^3}{3^3}\times\dfrac{4^3}{2^3}=\dfrac{(5\times4)^3}{(4\times2)^3}=\Bigg(\dfrac{20}{8}\Bigg)^3$ também é um cubo perfeito.

Raiz cúbica de um produto e um quociente

Para multiplicarmos ou dividirmos duas raízes cúbicas $q$ e $p$ , podemos fazê-lo separadamente por duas raízes ou juntá-las dentro da mesma raiz.

$\sqrt[3]{q}\times\sqrt[3]{p}=\sqrt[3]{q\times p}$ e $\frac{\sqrt[3]{q}}{\sqrt[3]{p}}=\sqrt[3]{\frac{q}{p}}$

Exemplo

$\sqrt[3]{27}\times\sqrt[3]{125}=3\times5=15=\sqrt[3]{27\times125}$

$\dfrac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{4}{2}=2=\sqrt[3]{\dfrac{64}{8}}$

Propriedade da raiz quadrada e da raiz cúbica

Raiz quadrada e raiz cúbica de números decimais

Imaginando um número em forma de número decimal numa raiz quadrada/cúbica. Se, deslocando a vírgula duas/três casas para a direita, der um quadrado/cubo perfeito, então quer dizer que o número dado também é um quadrado/cubo perfeito.

Exemplo

$\sqrt[3]{-0,125}=\sqrt[3]{\dfrac{-125}{1000}}=\dfrac{\sqrt[3]{-125}}{\sqrt[3]{1000}}=-\dfrac{5}{10}=-0,5$