Operações com potências de números racionais

Definição

Dado um número inteiro $$q\in \mathbb{Z}$$​ e um número natural $$n\in \mathbb{N}$$​, o símbolo $$q^n$$​ representa a potência de ordem $$n$$​ de $$q$$​.

​$$q^n=\overbrace{q\times\ldots\times q}^{n\ \mathrm{vezes}}$$​​

Ao número $$q$$​ chamamos de base, ao número $$n$$​ chamamos de expoente, e lemos a expressão como "$$q$$​ elevado a $$n$$​". Este número, sendo um produto de números inteiros, é também um número inteiro.

Se $$q\in \mathbb{Q}$$​, ou seja, se $$q$$​ for um número racional, a definição de potência mantém-se.

Nota: Se $$p,q\in \mathbb{Z}$$​ e $$q\neq 0$$​, temos  $$\left(\dfrac{p}{q}\right)^{n}=\dfrac{p^n}{q^n}.$$​

Exemplo

​$$\left(\dfrac{2}{5}\right)^3=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{2^3}{5^3}=\dfrac{8}{125}$$​​

​

Potências de expoente negativo e zero

Se $$r$$​ for um número racional e $$n$$ um número inteiro negativo, definimos

​$$r^{n}=\dfrac{1}{r^{-n}}$$​ 

Como por vezes acontece em Matemática, o zero é um caso especial para a potenciação! Se $$r\neq 0$$, definimos

​$$r^0=1\hspace{1cm}(r\neq 0)$$​ 

Atenção que, para qualquer $$n\in \mathbb{N}$$, temos $$0^n=0$$​.

Propriedades da potenciação

A multiplicação de números que estão expressos em forma de potência verifica muitas propriedades úteis para os cálculos que fazemos no dia-a-dia. Observa algumas destas propriedades na tabela abaixo, onde $$p,q\in \mathbb{Q}$$​ e $$a,b\in \mathbb{Z}$$​.

Sinal de uma potência

Recorda a regra dos sinais da multiplicação de números inteiros: "mais com mais dá mais", "mais com menos dá menos" e "menos com menos dá mais". Assim, se pensares no número $$-1$$, vês que qualquer sua potência de expoente par tem o valor $$1$$​, e toda a potência de exponente ímpar tem o valor de $$-1$$​.

Podemos aplicar as regras da tabela acima para descobrir uma propriedade importante da potenciação: se $$r$$ for um racional negativo, temos que

​$$r^n=\Big((-1)\times (-r)\Big)^n=(-1)^n\times (-r)^n=\begin{cases}(-r)^n & \mathrm{se}\ n\ \mathrm{é\ par}\\-(-r)^n & \mathrm{se}\ n\ \mathrm{é\ ímpar}\end{cases}$$​​

Em suma, sabemos que dado um qualquer $$q\in \mathbb{Q}$$​ temos

​$$(-q)^n=\begin{cases}q^n & \mathrm{se}\ n\ \mathrm{é\ par}\\-q^n & \mathrm{se}\ n\ \mathrm{é\ ímpar}\end{cases}$$​​

Exemplo:​

O sinal da potência $$(-3)^7$$​ é negativo porque a base é um número negativo e $$7$$ é um número ímpar.

Nota: Qualquer potência de um número racional positivo tem sinal positivo.