Homotetias: Conceito e propriedades

​​Definição

Chama-se homotetia ao processo de transformar uma figura original numa figura semelhante, a que chamamos imagem. Nesta transformação, a imagem não tem de ter necessariamente as dimensões da figura original.

Exemplo

Imagina um foco de luz que, à sua frente tem um vidro com um triângulo de papel colado e, a seguir a este, uma parede branca. Quando o foco de luz se acender, a luz irá passar pelo vidro e a figura do triângulo irá ficar copiada na parede, mas em dimensões maiores. O triângulo projetado na parede e o triângulo de papel são homotéticos.

Centro e razão de uma homotetia

Uma homotetia tem de um centro (normalmente designado de $$O$$), e uma razão (normalmente designada por $$r$$​). O módulo da razão define a proporção entre as duas figuras homotéticas: numa homotetia de razão com módulo $$|r|=2$$, a imagem terá o dobro da dimensão da figura original.

Exemplo

Nesta homotetia, os comprimentos das suas figuras estão relacionadas da seguinte maneira:

​$$\overline{OA'}=2\overline{OA}$$​​

​$$\overline{OB'}=2\overline{OB}$$​​

​$$\overline{OC'}=2\overline{OC}$$​​

A razão é então:

​$$|r|=\dfrac{\overline {A'B'}}{\overline {AB}}=\dfrac{\overline {A'C'}}{\overline {AC}}=\dfrac{\overline {B'C'}}{\overline {BC}}=2$$

Nota: numa homotetia, o centro, o ponto da figura original e a transformação desse ponto na figura semelhante são colineares, isto é, pertencem à mesma reta.

Homotetia direta e homotetia inversa

É usual atribuir um sinal à razão $$r$$​ de uma homotetia:

• ​$$r>0$$, quando o centro da homotetia é exterior aos segmentos de reta que unem os pontos homólogos.
  
• ​$$r<0$$, quando o centro da homotetia é interior aos segmentos de reta que unem os pontos homólogos.​
  

Quando uma homotetia tem razão positiva chama-se de homotetia direta. Quando tem razão negativa, trata-se de uma homotetia inversa.

Exemplo

A homotetia representada no exemplo acima tem centro no ponto $$O$$ e $$r=-2$$. Assim, a imagem projetada tem o dobro da figura original e, como é negativa, o centro $$O$$​ pertence ao segmento de reta $$[D'D]$$​.

Propriedades das homotetias

• A transformação de um segmento de reta será sempre paralela ao segmento de reta original. Caso a razão seja positiva, terá a mesma orientação que o segmento de reta original, e, se a razão for negativa, terá a orientação contrária.
• A razão entre o comprimento de um segmento de reta transformado e o comprimento do segmento de reta original é igual ao valor absoluto da razão da homotetia.
• A imagem transformada de uma reta é paralela a esta, caso o centro não lhe pertença. Caso o centro lhe pertença, será a própria reta.
• A imagem transformada de um ângulo orientado terá o mesmo ângulo e o mesmo sentido que o original.