Sequências, sucessões e identificação dos termos gerais

Definição

As sequências e as sucessões são listas de números, apresentados numa ordem particular. A transição de um número para o seguinte é feita de acordo com uma determinada regra. 

Exemplo

A cada elemento da sequência ou sucessão chama-se de 1º termo, 2º termo, 3º termo, ..., termo de ordem $$n$$ ($$n$$-ésimo termo). Os termos das sequências representam-se utilizando a designação $$a_n$$ e os das sucessões com a designação $$u_n$$.​

Exemplo

Utilizando o primeiro dos exemplos anteriores:

A regra que se usa para descobrir o valor do termo de ordem $$n$$ pode ser escrita sob a forma de uma expressão, designada por termo geral (falado mais abaixo), que é dependente de $$n$$. 

Então, as sequências e sucessões, são funções $$a(n)$$ e $$u(n)$$, respetivamente, em que a variável independente representa um número natural.

A diferença entre as sequências e as sucessões é o seu domínio:

• A sequência tem domínio finito $$\{1, 2, 3, ..., N\}$$, sendo $$N$$ um dado número natural.
• A sucessão tem domínio infinito, igual ao conjunto de todos os números naturais, $$\natnums$$​.

Tipos de sequências e sucessões

Podes identificar vários tipos de sequências e sucessões, com regras diferentes para gerar os seus termos.

Exemplos

Adição de um valor constante (sequência/sucessão aritmética)
Adição de um valor que muda regularmente
Soma dos termos anteriores
​Multiplicação de um valor constante​
​Multiplicação de um valor crescente​

Termo geral

Definição

O termo geral é uma expressão que te permite determinar qualquer termo de uma sequência ou sucessão, a partir de $$n$$.

Sequência/sucessão aritmética

Quando a diferença entre dois termos consecutivos de uma sequência ou sucessão é constante (primeiro exemplo da secção anterior), estás perante uma sequência ou sucessão aritmética. No entanto, duas sequências ou sucessões aritméticas podem ter a mesma diferença entre dois termos consecutivos mas começar em valores diferentes.

Então para descobrir o termo geral de uma sequência ou sucessão aritmética:

Procedimento

Exemplo​

Utilizando o exemplo da secção anterior, admite-se os primeiros 5 termos de uma sucessão:

Primeiro, calculas a diferença entre cada par de termos consecutivos e verificas que é constante:

Depois, calculas a diferença entre o primeiro termo e a diferença que calculaste anteriormente:

$$2-7=-5$$​​​

Por fim, escreves a expressão do termo geral:

$$\boxed{u_n = 7n - 5}$$​​​

Nota: Este procedimento só funciona se a sucessão (ou sequência) for aritmética!