Equações equivalentes e princípios de equivalência

Definição

Duas equações são equivalentes unicamente quando têm o mesmo conjunto-solução.

Exemplo

Considera o seguinte diagrama de setas das funções $f$ , $g$ , $h$ e $j$ . Como podes observar, tanto o conjunto-solução de $f(x)=g(x)$ como o de $h(x)=j(x)$ é $S=\{1\}$ .

Matemática; Equações; 7º Ano; Equações equivalentes e princípios de equivalência

Logo, conclui-se que $f$ e $g$ são equações equivalentes, ou seja $f(x)=g(x) \Leftrightarrow h(x)=j(x)$ .

Dica: Tem em conta a seguinte linguagem matemática para facilitar a compreensão e a escrita:

$\Leftrightarrow$ : "Equivalente a"

$\Rightarrow$ ou $\Leftarrow$ : "Implica que"

Assim, se $a \Leftrightarrow b$ , $a \Rightarrow b$ e $a \Leftarrow b$ .

Princípios de equivalência em equações

Numa equação, se se efetuar uma operação em ambos os membros, obtém-se uma equação equivalente à original. Contudo, isto não se verifica com qualquer operação, pelo que se tem de seguir os seguintes princípios:

Adição: Da adição ou subtração de um número em ambos os membros de uma equação resulta uma equação equivalente;
Multiplicação: Da multiplicação ou divisão de um número por ambos os membros de uma equação resulta uma equação equivalente.

Exemplo

Considera a equação $x^2=x+2$ . Podes multiplicar ambos os membros por $2$ , e verificar que:

$2x^2=2(x+2) \Leftrightarrow x^2=x+2$ 

Também podes somar $2$ e observar que:

$2+x^2=x+4 \Leftrightarrow x^2=x+2$ .

Identificar equações equivalentes

Considera duas equações e olha para os coeficientes e para a constante. Repara em que diferem uma da outra;
Observa se é possível obter uma das equações efetuando uma adição ou multiplicação na outra;
Efetua a operação identificada por ambos os membros.

Exemplo

Considera as seguintes equações:

a) $3x^2-4x=5$

b) $9x^2-12x=15$

Primeiro, olha para as equações: o que têm de diferente? Os coeficientes de b) são maiores do que os de a $(9>3 ; 12>4 ; 15>5)$ .

Os coeficientes da equação b) são múltiplos de $3$ , o que indica que, possivelmente, podes obter a equação b) multiplicando a) por $3$ :

$\begin{aligned}& 3(3x^2-4x)=3\times5\\& \Leftrightarrow 9x^2-12x=15\end{aligned}$

Logo, $\boxed {3x^2-4x=5 \Leftrightarrow 9x^2-12=15}$