Equações equivalentes e princípios de equivalência

​Definição

Duas equações são equivalentes unicamente quando têm o mesmo conjunto-solução. 

Exemplo

Considera o seguinte diagrama de setas das funções $$f$$, $$g$$, $$h$$ e $$j$$. Como podes observar, tanto o conjunto-solução de $$f(x)=g(x)$$ como o de $$h(x)=j(x)$$ é $$S=\{1\}$$. 

Logo, conclui-se que $$f$$ e $$g$$ são equações equivalentes, ou seja $$f(x)=g(x) \Leftrightarrow h(x)=j(x)$$.

Dica: Tem em conta a seguinte linguagem matemática para facilitar a compreensão e a escrita:

$$\Leftrightarrow$$: "Equivalente a"

$$\Rightarrow$$ ou $$\Leftarrow$$: "Implica que"

Assim, se $$a \Leftrightarrow b$$, $$a \Rightarrow b$$ e $$a \Leftarrow b$$.

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Princípios de equivalência em equações

Numa equação, se se efetuar uma operação em ambos os membros, obtém-se uma equação equivalente à original.  Contudo, isto não se verifica com qualquer operação, pelo que se tem de seguir os seguintes princípios:

• Adição: ​Da adição ou subtração de um número em ambos os membros de uma equação resulta uma equação equivalente;
  
• Multiplicação: ​Da multiplicação ou divisão de um número por ambos os membros de uma equação resulta uma equação equivalente.

Exemplo

Considera a equação $$x^2=x+2$$. Podes multiplicar ambos os membros por $$2$$, e verificar que:

 $$2x^2=2(x+2) \Leftrightarrow x^2=x+2$$​

 Também podes somar $$2$$ e observar que:

 $$2+x^2=x+4 \Leftrightarrow x^2=x+2$$. 

Identificar equações equivalentes

1. ​Considera duas equações e olha para os coeficientes e para a constante. Repara em que diferem uma da outra;
   
2. Observa se é possível obter uma das equações efetuando uma adição ou multiplicação na outra;
   
3. Efetua a operação identificada por ambos os membros.
   

Exemplo

Considera as seguintes equações:

a) $$3x^2-4x=5$$  

b) $$9x^2-12x=15$$

Primeiro, olha para as equações: o que têm de diferente? Os coeficientes de b) são maiores do que os de a $$(9>3 ; 12>4 ; 15>5)$$.

Os coeficientes da equação b) são múltiplos de $$3$$, o que indica que, possivelmente, podes obter a equação b) multiplicando a) por $$3$$:

​$$\begin{aligned}& 3(3x^2-4x)=3\times5\\& \Leftrightarrow 9x^2-12x=15\end{aligned}$$

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Logo, $$\boxed {3x^2-4x=5 \Leftrightarrow 9x^2-12=15}$$