Decomposição de um triângulo retângulo

Explicação

Para decompor um triângulo retângulo pela altura relativa à hipotenusa, desenha uma altura do triângulo que começa no ângulo reto e é perpendicular à hipotenusa, como na figura:

Como podes ver, o triângulo inicial foi dividido em dois novos triângulos retângulos. Estes triângulos são semelhantes ao triângulo original e semelhantes entre si.

Semelhança de triângulos no triângulo retângulo

Na figura abaixo podes ver o triângulo original, $T_1 = [ABC]$​, e os dois novos triângulos, $T_2=[ACD]$​ e $T_3 = [BCD]$​.

Estes três triângulos são semelhantes entre si pelo critério AA da semelhança de triângulos:

• Os triângulos $T_1$​ e $T_2$ são semelhantes pois têm ambos um ângulo reto ($\hat{ACB}$​ e $\hat{ADC}$​) e partilham o ângulo $\hat{CAD}$​.
  
• Os triângulos $T_1$​ e $T_3$​ são semelhantes pois têm ambos um ângulo reto ($\hat{ACB}$​ e $\hat{BDC}$​) e partilham o ângulo $\hat{DBC}$​.
• Os triângulos $T_2$​ e $T_3$​ são semelhantes pois têm ambos um ângulo reto ($\hat{ADC}$​ e $\hat{BDC}$​) e os ângulos $\hat{DAC}$​ e $\hat{BCD}$​ (bem como $\hat{ACD}$​ e $\hat{CBD}$​) são iguais porque $\hat{DAC}=90º-\hat{ACD}=\hat{BCD}$​ (e $\hat{ACD}=90º-\hat{BCD}=\hat{CBD}$​)

Conhecendo estas semelhanças, podes então inferir as seguintes relações:

Exemplo

Considera um triângulo retângulo, como o da figura acima, em que $\overline{AD}=3$ e $\overline{BD}=12$. Calcula $\overline{CD}$​.

Como sabes que $[ACD]$ e $[BCD]$ são semelhantes entre si, podes calcular $\overline{CD}$ através das seguintes razões:

Nota: Na realidade, $(\overline{CD})^2=36 \Leftrightarrow \overline{CD}=\pm\sqrt{36}$, mas como $\overline{CD}>0$, assumimos apenas o resultado positivo.