Resolução de equações literais do 1º e 2º graus

Definições

As equações literais de 1º grau são aquelas que, uma vez simplificadas, são da forma $$ax+b=0$$. Por sua vez, as equações literais de 2º grau são aquelas que, quando simplificadas, são do tipo $$ax^2+b=0$$.

1º grau

PROCEDIMENTO

Exemplo

A Rita quer ir num taxi a casa dos avós, que fica a $$3{,}5 \ km$$ da sua casa, mas só tem $$15$$​ euros consigo. Ela sabe que com a equação $$20d=3m+2^4$$ pode calcular quanto deverá pagar $$(m)$$ em euros, em função da distância percorrida $$(d)$$ em $$km$$. Indica se a Rita pode visitar os seus avós usando o táxi.​

1. Neste caso, queremos saber se a Rita terá dinheiro suficiente para a viagem, pelo que a incógnita é $$m$$.

2. Efetua operações na ordem correta.

​$$\begin{aligned}20d&=3m+2^4\\&=3m+16\end{aligned}$$

3. Isola a incógnita dos restantes valores.

​$$\begin{aligned}&20d-16=3m \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \ & 3m = 20d-16\\\Leftrightarrow \ & m=\dfrac{20d-16}{3}\end{aligned}$$​​

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4. Escreve o conjunto-solução: neste passo tens de substituir o valor de $$d=3{,}5 \ km$$ para obtermos a solução.

$$m=\dfrac{20\times3,5-16}{3}=\dfrac{70-16}{3}=\dfrac{54}{3}=18$$ euros

Logo, como o custo do taxi são $$18$$​ euros e a Rita só tem $$15$$​ euros, concluímos que ela não pode ir à casa dos avós de taxi.

2º grau

PROCEDIMENTO

Exemplo

Resolve a seguinte equação $$\frac {1}{2^2}x^2-\frac {ax^2+1}{2}= 3(ax^2+y)$$​ em ordem a $$x$$​.

1. Neste caso, é indicada a incógnita a determinar: $$x$$.

2. Efetua operações na equação na ordem correta.

$$\begin{aligned}& \dfrac{1}{4}x^2-\frac{ax^2+1}{2}= 3ax^2+3y \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow &\ 4\times\dfrac{1}{4}x^2-4\times\dfrac{ax^2+1}{2}=4(3ax^2+3y)\\ \Leftrightarrow&\ x^2-2(ax^2+1)=12ax^2+12y\\ \Leftrightarrow &\ x^2-2ax^2+2=12ax^2+12y\\\end {aligned}$$​​​​

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3. Isola a incógnita, efetuando operações caso seja necessário.

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$$\begin{aligned}& x^2-2ax^2-12ax^2=12y-2 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow & \ x^2(1-2a-12a)=12y-2\\ \Leftrightarrow & \ x^2(1-14a)=12y-2\\ \Leftrightarrow &\ x^2= \dfrac{12y-2}{1-14a}\\\end {aligned}$$​​​

4. Aplica uma raiz para tirar a incógnita. 

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$$\begin{aligned}& \sqrt{x^2}= \sqrt{\dfrac{12y-2}{1-14a}} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow & \ x= \pm \sqrt{\dfrac{12y-2}{1-14a}}\\ \Leftrightarrow & \ x=-\sqrt{\dfrac{12y-2}{1-14a}} \ \vee\ x=\sqrt{\dfrac{12y-2}{1-14a}}\end {aligned}$$

5. Indica o conjunto-solução.

$$S =\Big\{ -\sqrt{\dfrac {12y-2}{1-14a}},\sqrt{\dfrac {12y-2}{1-14a}}\Big\}$$​​

Dica: Não te esqueças que, aplicando a raiz quadrada, tens dois resultados – um positivo e outro negativo.

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