Representar frações na forma de dízima

Dízimas

Uma dízima é uma forma de escrever um número não inteiro, usando uma vírgula para separar a parte inteira e a parte decimal desse número.

Dízimas finitas e dízimas infinitas

Se o número de algarismos a seguir à vírgula tiver fim trata-se de uma dízima finita, enquanto que se o número de algarismos a seguir à vírgula for infinito chama-se de dízima infinita.

Exemplo

Há uma pizza com $8$  fatias. A Mariana comeu $3$  fatias e meia ( $3{,}5$ ), que pode ser representado por uma dízima finita. O Luís comeu $2$  fatias e um terço ( $2{,}3333...$ ), e o Tiago comeu $2$  fatias e dois terços ( $2{,}6666...$ ), que são representados por dízimas infinitas.

Dízimas infinitas periódicas e dízimas infinitas não periódicas

Uma dízima infinita periódica é uma dízima infinita que tem um padrão de algarismos que se repete a seguir à vírgula. Uma dízima infinita não periódica não tem esse padrão.

Exemplo

$2{,}(3)$ ou $2{,}33333...$  é uma dízima infinita periódica.

$7{,}28503...$ . é uma dízima infinita não periódica.

Nota: numa dízima infinita periódica, o padrão de algarismos que se repete após a vírgula é chamado de período da dízima (no caso de $2{,}333...$ o período é $3$ , por isso também se representa $2{,}(3)$ ).

Frações em forma de dízima

Frações em forma de dízima finita e em forma de dízima infinita

Uma fração pode ser escrita na forma de dízima finita se, decompondo o seu denominador em fatores primos, não tiver fatores diferentes de $2$ e $5$ .

Exemplo 1

$\dfrac{7}{120}=0{,}058333...$

Matemática; Números racionais; 8º Ano; Representar frações na forma de dízima

Nem todos os fatores primos da decomposição do denominador são $2$ ou $5$ , então a dízima é infinita.

Exemplo 2

$\dfrac{8}{160}=0{,}05$

Matemática; Números racionais; 8º Ano; Representar frações na forma de dízima

Todos os fatores primos da decomposição do denominador são $2$ ou $5$ , então a dízima é finita.

Representar frações em forma de dízima

Para representarmos uma fração em forma de dízima, no caso de ser uma dízima finita, multiplicam-se os termos da fração por potências de base $2$ ou $5$ , de forma a transformar o denominador numa potência de base igual a $10$ ser mais fácil encontrar o resultado.

Exemplo

$\dfrac{20}{5^2}=\dfrac{20\times2^2}{5^2\times2^2}=\dfrac{20\times4}{(5\times2)^2}=\dfrac{80}{10^2}=\dfrac{80}{100}=0{,}8$

Nota: para simplificar a transformação do denominador numa potência de base igual a $10$ , podes decompor o denominador em fatores primos

Representar uma dízima infinita periódica em forma de fração

Procedimento

Considera uma dízima infinita periódica;
Pensa numa variável $x$ como uma dízima finita que acaba no período dessa dízima infinita;
Calcula $10x$ ;
Subtrai $10x$ por $x$ ;
Resolve a equação.

Exemplo

$5{,}33333...$ ou $5{,}(3)$ 
$x=5{,}3$
$10x=53{,}3$
$10x-x=53{,}3-5{,}3\leftrightarrow9x=48\leftrightarrow x=\dfrac{48}{9}=\dfrac{16}{3}$
 $5{,}(3)=\dfrac{16}{3}$