Representar frações na forma de dízima

Dízimas

Uma dízima é uma forma de escrever um número não inteiro, usando uma vírgula para separar a parte inteira e a parte decimal desse número. 

Dízimas finitas e dízimas infinitas

Se o número de algarismos a seguir à vírgula tiver fim trata-se de uma dízima finita, enquanto que se o número de algarismos a seguir à vírgula for infinito chama-se de dízima infinita.

Exemplo

Há uma pizza com $$8$$​ fatias.  A Mariana comeu $$3$$​ fatias e meia ($$3{,}5$$), que pode ser representado por uma dízima finita. O Luís comeu $$2$$​ fatias e um terço ($$2{,}3333...$$), e o Tiago comeu $$2$$​ fatias e dois terços ($$2{,}6666...$$), que são representados por dízimas infinitas. 

Dízimas infinitas periódicas e dízimas infinitas não periódicas

Uma dízima infinita periódica é uma dízima infinita que tem um padrão de algarismos que se repete a seguir à vírgula. Uma dízima infinita não periódica não tem esse padrão. 

Exemplo

$$2{,}(3)$$ ou $$2{,}33333...$$​ é uma dízima infinita periódica.

​$$​7{,}28503...$$. é uma dízima infinita não periódica.​

Nota: numa dízima infinita periódica, o padrão de algarismos que se repete após a vírgula é chamado de período da dízima (no caso de $$2{,}333...$$​ o período é $$3$$​, por isso também se representa $$2{,}(3)$$​).

Frações em forma de dízima

Frações em forma de dízima finita e em forma de dízima infinita

Uma fração pode ser escrita na forma de dízima finita se, decompondo o seu denominador em fatores primos, não tiver fatores diferentes de $$2$$​ e $$5$$​.

Exemplo 1

​​$$\dfrac{7}{120}=0{,}058333...$$

​Nem todos os fatores primos da decomposição do denominador são $$2$$​ ou $$5$$, então a dízima é infinita.

Exemplo 2

​​$$\dfrac{8}{160}=0{,}05$$​

​Todos os fatores primos da decomposição do denominador são $$2$$​ ou $$5$$, então a dízima é finita.​

Representar frações em forma de dízima

Para representarmos uma fração em forma de dízima, no caso de ser uma dízima finita, multiplicam-se os termos da fração por potências de base $$2$$​ ou $$5$$, de forma a transformar o denominador numa potência de base igual a $$10$$​ ser mais fácil encontrar o resultado. 

Exemplo

$$\dfrac{20}{5^2}=\dfrac{20\times2^2}{5^2\times2^2}=\dfrac{20\times4}{(5\times2)^2}=\dfrac{80}{10^2}=\dfrac{80}{100}=0{,}8$$

Nota: para simplificar a transformação do denominador numa potência de base igual a $$10$$​, podes decompor o denominador em fatores primos

Representar uma dízima infinita periódica em forma de fração​

Procedimento

1. Considera uma dízima infinita periódica;
2. Pensa numa variável $$x$$​ como uma dízima finita que acaba no período dessa dízima infinita;
   
3. Calcula $$10x$$;
4. Subtrai $$10x$$ por $$x$$;
5. Resolve a equação.

Exemplo

1. $$5{,}33333...$$​ ou $$5{,}(3)$$​
2. $$x=5{,}3$$
   
3. $$10x=53{,}3$$
   
4. $$10x-x=53{,}3-5{,}3\leftrightarrow9x=48\leftrightarrow x=\dfrac{48}{9}=\dfrac{16}{3}$$
5. ​$$5{,}(3)=\dfrac{16}{3}$$​​