Representação de potências de base 10 e notação científica

Explicação

Por vezes é necessário lidar com números muito grandes (como, por exemplo, a distância em quilómetros entre os planetas do Sistema Solar) ou números muito pequenos (o raio de um átomo, em metros). A decomposição de um número em notação científica torna a sua leitura mais fácil e permite cálculos mais expedidos.

Potências de base 10

Já conheces os nomes dados às potências de base 10 de expoentes não negativos: por exemplo, o milhão ($$10^6$$​), ou o bilião ($$10^{12}$$​).

Para escrever potências de exponente negativo de grandezas com unidades de medida, utilizamos certos prefixos antes da unidade de medida.

• Mili- representa-se por $$m$$. Corresponde a $$0{,}001$$, que na forma de potência é $$10^{-3}$$;
• Micro- representa-se por $$\mu$$. Corresponde a $$0{,}000\ 001$$, que na forma de potência é $$10^{-6}$$;
• Nano- representa-se por $$n$$. Corresponde a $$0{,}000 \ 000 \ 001$$, que na forma de potência é $$10^{-9}$$;
• Pico- representa-se por $$p$$. Corresponde a $$0{,} 000 \ 000 \ 000 \ 001$$, que na forma de potência é $$10^{-12}$$.​
  

Exemplo

Dizemos que $$10^{-6}$$​ metros é um micrómetro, ou seja, $$10^{-6}\ \mathrm{m}=1 \ \mu \mathrm{m}$$​.

Notação científica

Se $$a$$​ é um número positivo, diz-se que $$a$$​ está escrito em notação científica se

​$$a=m\times 10^{b}$$​

onde $$m$$​ é um número inteiro ou decimal com $$1\leq m < 10$$​, e $$b$$​ é um número inteiro. Diz-se que $$m$$​ é a mantissa do número, e $$b$$​ é o expoente.

O expoente $$b$$​ informa-nos sobre a ordem de grandeza do número.

Exemplo

Considera a distância média entre Marte e Júpiter: $$550 390 000 \ km$$​. Repara que podemos representar este número recorrendo a potências de base $$10$$​:

$$550\ 390 \ 000 = 5\times 10^{8}+5\times 10^7+3\times 10^5+9\times 10^4$$​​

Esta forma de escrever o número 550 390 000 diz-se decomposição decimal. Podemos escrevê-lo em notação científica utilizando os fatores que multiplicam pelas potências de base $$10$$​. De facto,

$$550\ 390\ 000 = 5,5039\times 10^8$$

Dizemos que a distância média entre Marte e Júpiter (em $$km$$​) é da ordem de grandeza das centenas de milhões de quilómetros.

Dica: Podes saber o expoente da potência de base $$10$$​ utilizando a seguinte técnica: contas o número de casas decimais de deslocação da vírgula. No caso do exemplo acima, a vírgula desloca-se $$8$$​ casas decimais para a esquerda. No caso de números pequenos, a vírgula desloca-se para a direita (experimenta!).

Operações

Se $$m\times 10^b$$​ e $$n\times 10^c$$ são dois números em notação científica, nota que os podemos reduzir ao mesmo exponente: por exemplo, $${n\times 10^c=n\times 10^{c+b-b}=(n\times 10^{c-b})\times 10^b}$$​.

​As regras da potenciação tornam os cálculos com números em notação científica mais simples.

• Adição: ​$$(m\times 10^b)+(n\times 10^c)=(m+n\times10^{c-b} )\times 10^b$$
• Subtração: $$(m\times 10^b)-(n\times 10^c)=(m-n\times 10^{c-b})\times 10^b$$
• Multiplicação: $$(m\times 10^b)\times (n\times 10^c)=(m\times n)\times 10^{b+c}$$
• Divisão: $$(m\times 10^b):(n\times 10^c)=(m:n)\times10^{b-c}$$​
  

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Nota: Repara que os números na coluna da direita podem não estar escritos em notação científica porque não temos garantia que a mantissa seja um número decimal maior ou igual a $$1$$​ e menor que $$10$$​.

Exemplo

Um satélite diz-se orbitar na órbita baixa da Terra se se encontrar a menos de $$2\ 000\ \mathrm{km}$$​ de altitude. Se um foguetão levantar da superfície a uma velocidade média de $$2,81\times 10^4\ \mathrm{km/h}$$, quantos segundos é que demora a atingir $$2\ 000\ \mathrm{km}$$​ de altitude?

Podes calcular o intervalo de tempo, em horas, da seguinte forma:

​$$\Delta t=\dfrac{2\times 10^3\ \mathrm{km}}{2,81\times 10^4\ \mathrm{km/h}}=\dfrac{2\times 10^3\ \mathrm{km}}{28,1\times 10^3\ \mathrm{km/h}}=\dfrac{2}{28,1}\ \mathrm{h}\approx 0,07117\ \mathrm{h}$$​

Agora, convertendo para segundos,

​$$\Delta t \approx 0,07117\ \mathrm{h}=0,07117\times 60 \times 60\ \mathrm{s}\approx 256\ \mathrm{s}$$​

Concluímos que o foguetão demora aproximadamente $$256\ \mathrm{s}$$​ a atingir $$2\ 000\ \mathrm{km}$$ de altitude.