Isometrias: Propriedades

Explicação

Uma isometria é uma transformação geométrica que não altera a distância entre pontos.

Ou seja, para todos os pontos $A$ e $B$ da figura original (para os quais $A'$ e $B'$ são os pontos correspondentes na figura transformada), $\overline{AB}=\overline{A'B'}$ .

Uma isometria no plano tem necessariamente que ser:

uma reflexão axial: os pontos da figura original e os pontos correspondentes da figura transformada estão à mesma distância do eixo de reflexão $r$ ;
uma rotação: todos os pontos rodam em torno do centro $O$ a uma amplitude de $\alpha$ ;
uma translação: todos os pontos da figura se movem na mesma direção e no mesmo sentido, conservando as distâncias entre pontos;
uma reflexão deslizante: reflexão seguida de uma translação, ou vice-versa.

Propriedades

Propriedade	Exemplo
As imagens de isometrias de retas, semirretas e ângulos são na mesma retas, semirretas e ângulos	A imagem da semirreta $\dot{O}M$ segundo uma rotação de centro $O$ e amplitude $a$ é a semirreta $\dot{O}M'$
As amplitudes dos ângulos das imagens de isometria são as mesmas dos ângulos originais	Apesar da figura $[ABCDEFG]$ ter sofrido uma reflexão deslizante de eixo de simetria $r$ seguida de uma transação segundo $\overrightarrow{u}$ , $B\^AC=B''\^{A''}C''$ * visto que* ${\overline{AB}=\overline{A''B''}, \ \overline{BC}=\overline{B''C''}}$ e ${\overline{AC}=\overline{A''C''}}$
As rotações e as translações fazem com que a imagem de um ângulo orientado tenha o mesmo sentido do original	O ângulo orientado $A$ sofreu uma rotação de centro $V$ e de amplitude $180\degree$ e originou o ângulo $A'$ com o mesmo sentido
As reflexões e as reflexões deslizantes transformam um ângulo orientado num ângulo orientado com sentido inverso	O ângulo orientado $A$ sofreu uma reflexão de eixo $r$ e originou o ângulo $A'$ com sentido oposto
As translações mantém a direção e o sentido dos segmentos orientados ou semirretas	O segmento orientado $[A,B]$ sofreu uma translação $T_{\overrightarrow{u}}$ e originou o segmento orientado $[A',B']$ com o mesmo sentido e direção

Composição de isometrias

Composição	Resultado
Duas translações	Uma translação
Duas rotações	Uma rotação
Duas reflexões axiais	Uma translação, se os eixos de reflexão forem paralelos; Uma rotação, se os eixos se intersetarem num ponto.

Simetria de translação

Uma figura tem simetria de translação se, segundo um vetor não nulo, a imagem criada for igual à figura original.

Exemplo

Simetria de reflexão deslizante

Uma figura tem simetria de reflexão deslizante se, segundo uma reflexão de eixo $r$ seguida de uma translação segundo $\overrightarrow{v}$ , a imagem criada for igual à figura original.

Exemplo

Matemática; Semelhanças e isometrias; 8º Ano; Isometrias: Propriedades