Divisores e critérios de divisibilidade

Explicação

Um número é divisor de outro quando a divisão é exata, sendo que o resto é igual a $$0$$.

Exemplo

​$$20\,:\,5\,=\,4$$

O quociente da divisão é $$4$$ e o resto é $$0$$. Assim, $$5$$ é divisor de $$20$$.​

Encontrar os divisores de um número

Podes encontrar os divisores de um certo número de duas maneiras:

• Divides esse número por números inteiros cada vez maiores (os divisores são aqueles em que o resto for zero), ou
  
• Procuras todas as multiplicações entre números inteiros cujo resultado seja exatamente o número que queres.

Exemplo

Procurar os divisores de $$10$$ através da divisão:

$$10\,:\,1\,=\,10\\10\,:\,2\,=\,5\\10\,:\,3\,=\,3{,}(3)\\10\,:\,4\,=\,2{,}5\\10\,:\,5\,=\,2\\10\,:\,6\,=\,1{,}(6)\\10\,:\,7\,=\,1{,}429\\10\,:\,8\,=\,1{,}25\\10\,:\,9\,=\,1{,}(1)\\10\,:\,10\,=\,1$$

Só houve divisão exata quando o $$10$$ foi dividido por $$1$$, $$2$$, $$5$$ ou $$10$$. Logo, esses números são divisores de $$10$$​.

Exemplo

Procurar os divisores de $$12$$ através da multiplicação:

$$1\,\times\,12\,=\,12\\2\,\times\,6\,=\,12\\3\,\times\,4\,=\,12$$

Podes afirmar que os números $$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$ e $$12$$ são todos divisores de $$12$$.

Divisores e múltiplos

Depois de encontrares os divisores de um determinado número, podes dizer que esse número é múltiplo de todos os seus divisores.

Exemplo

Os divisores de $$10$$ são: $$1$$, $$2$$, $$5$$ e $$10$$. Por isso, podes afirmar que o $$10$$ é  um múltiplo de $$1$$, $$2$$, $$5$$ e $$10$$.

Critérios de divisibilidade

Existe um conjunto de critérios que te ajudam a entender se um número é divisível por outro:​

• ​O número $$2$$ é divisor de um número natural caso este seja par, ou seja, se as unidades forem $$0$$, $$2$$, $$4$$, $$6$$ ou $$8$$.

Exemplo

O número $$2$$ é divisor de $$52$$, pois é um número par e a divisão é exata.

• O número $$3$$ é divisor de um número natural caso a soma dos seus algarismos for um múltiplo de $$3$$.

Exemplo

O número $$3$$ é divisor de $$15$$, porque $$1\,+\,5\,=\,6$$, e o $$6$$ é um múltiplo de $$3$$​. O $$17$$ já não é, porque $$1\,+\,7\,=\,8$$, que não é múltiplo de $$3$$​.​

• O número $$4$$ é divisor de um número natural caso acabe em $$00$$, ou se os últimos dois algarismos (dezenas e unidades) formarem um número múltiplo de $$4$$.

​

Exemplo

Os últimos dois algarismos do número $$138\,961\,736$$ são $$36$$, que é um múltiplo de $$4$$. Logo, $$138\,961\,736$$ é divisível por $$4$$​.

• O número $$5$$ é divisor de um número apenas quando acaba em $$0$$ ou $$5$$​.

Exemplo

O número $$35$$ é divisível por $$5$$.

• O número $$9$$ é divisor de um número natural apenas quando a soma de todos os seus algarismos for um múltiplo de $$9$$​.​​
  

Exemplo

O número $$27$$ é divisível por $$9$$, porque $$2\,+\,7\,=\,9$$.

• O número $$10$$ é divisor de um número natural apenas se nas unidades tiver $$0.$$

Exemplo

O número $$120$$ é divisível por $$10$$, pois acaba em $$0$$​.

Nota: Um determinado número pode não ser divisível por um número que estejas a testar. Nesse caso, diz-se que é indivisível.

Exemplo

O número $$736$$ é indivisível por $$10$$, porque o algarismo das unidades não é $$0$$. No entanto, é divisível por $$2$$ porque nas unidades tem um número par.