​​Representação de números e conjuntos

Noções básicas de conjuntos

Um conjunto representa-se da seguinte forma:

$$\mathrm{Nome \ do \ conjunto= \{elementos \ do\ conjunto\}}$$​

Exemplo

A Joana tem consigo uma caixa de bolas, que estão rotuladas com os seguintes números: $$1, 33, 40, 55, 63, 20, 50, 15, 80.$$ Ela pode escrever o conjunto de bolas que tenham um número acabado em zero como:

$$\mathrm{Bolas \ que \ têm \ um \ número \ que \ acaba \ em \ zero} = \{40, 20, 50, 80\}$$​​

Operações com conjuntos

Dado um conjunto $$A$$, para indicar que um elemento $$a$$ pertence ao conjunto, escrevemos $$a\in A$$. Por outro lado, se um elemento $$b$$ não pertencer ao conjunto $$A,$$ escrevemos $$b\notin A$$.

Dados dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, existem duas operações importantes que os transformam num novo conjunto:

• União: para um elemento pertencer ao conjunto união de $$A$$​ e $$B$$, basta que ele pertença a um dos conjuntos. Escrevemos a união como $$A\cup B$$.​
  
• Interseção: para um elemento pertencer ao conjunto interseção de $$A$$​ e $$B$$, ele tem de pertencer a ambos os conjuntos. Escrevemos a interseção como $$A\cap B$$.​

Exemplo

Considera os seguintes conjuntos: $$A =\{1,2,3,4,5\},\ \ \ B=\{3,4,5,6\}, \ \ \ C=\{9,10\}$$.

Como o conjunto $$A$$​ tem os elementos $$3$$, $$4$$ e $$5$$ em comum com o conjunto $$B$$​, tem-se que $$A\cap B=\{3,4,5\}$$. No entanto, nota que $$A\cap C=\emptyset$$.

Como a união reúne todos os elementos dos dois conjuntos, $$A\cup B =\{1,2,3,4,5,6\}$$.​

Números naturais

Os números naturais são os números que utilizamos para contar objetos. Com eles podemos contar os dedos das mãos, por exemplo: $$1$$​ dedo, $$2$$​ dedos, $$3$$ dedos, etc. Representamos este conjunto de números por um "N" com uma linha vertical, assim: $$\N$$. Escrevemos:

​$$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,\ldots\}$$​​

Nota: Por vezes, o número zero também pode ser considerado um número natural.

Múltiplos naturais

Se tiveres um número qualquer $$n$$ e o multiplicares por um número natural $$k$$, ao produto $$k\times n$$ dá-se o nome de múltiplo natural (de $$n$$).

Utilizamos os símbolo $$M_n$$ para indicar o conjunto dos múltiplos naturais de $$n$$.​

Exemplo

Imagina que o número dado é o número $$3$$. Os múltiplos naturais de $$3$$ são todos os números que obténs ao multiplicar $$3$$​ pelos os números naturais.

Podes representar o conjunto dos múltiplos naturais do número $$3$$​ assim:

 $$M_3=\{3,6,9,12,15,...\}$$

Divisores de um número

Dado dois números $$a$$ e $$b$$, dizemos que $$a$$​ é divisor de $$b$$ quando o resto da divisão inteira de $$b$$​ por $$a$$ é zero.

Utilizamos o símbolo $$D_b$$ para indicar o conjunto de divisores de $$b$$.​

Exemplo

Será que o $$2$$​ é um divisor do número $$4$$​? Então e o $$3$$​?

Se dividires $$4$$​ por $$2$$​, o resultado é $$2$$. Como o resto desta divisão é zero, $$2$$​ é divisor de $$4$$. Porém, quando divides $$4$$​ por $$3$$​, o resultado é aproximadamente $$1{,}3$$. Como o resto da divisão não é zero, o número $$3$$​ não é divisor de $$4$$​.

De facto, podes verificar que $$D_4=\{1,2,4\}$$.

Nota: O número $$1$$ é divisor de qualquer número natural. Além disso, um número é sempre o maior divisor de si mesmo.

Mínimo múltiplo comum

O mínimo múltiplo comum de dois números é o número mais baixo que é múltiplo natural de ambos os números. Utilizamos a abreviatura $$\text{m.m.c.}$$​

Exemplo

Para calcular o mínimo múltiplo comum de $$30$$​ e $$50$$​, escreves primeiro os conjuntos dos seus múltiplos naturais

​$$\begin{aligned}M_{30} &=\{30 ,60 , 90 ,120 , 150,180,...\}\\M_{50}& =\{50,100,150,200,250,300,...\}\end{aligned}$$​​

​

O número mais baixo que é múltiplo de $$30$$ e de $$50$$​, é o número $$150$$​. Por isso, $$150$$​ é o mínimo múltiplo comum de $$30$$​ e $$50$$. Escrevemos isto matematicamente como $$\text{m.m.c.}(30,50)=150$$.

Máximo divisor comum

Dados dois números naturais $$a$$ e $$b$$, um elemento de $$D_a\cap D_b$$ diz-se um divisor comum de $$a$$ e $$b$$​.​

O máximo divisor comum de dois números naturais $$a$$ e $$b$$ é o maior valor do conjunto $$D_a\cap D_b$$. Representa-se pelo símbolo $$\text{m.d.c.}(a,b)$$.

Exemplo

Os divisores de $$4$$ e $$12$$ são:

$$\begin{aligned}D_4&=\{1,2,4\}\\D_{12}&=\{1,2,3,4,6,12\}\end{aligned}$$​​

Como consegues ver, os elementos em comum são o $$1$$, o $$2$$​ e o $$4$$, ou seja, $${D_4\cap D_{12}=\{1,2,4\}}$$. Destes três, o maior número é o $$4$$, e, por isso, $$\text{m.d.c}.(4,12)=4$$.

Números primos entre si

Dois números $$a$$ e $$b$$ são primos entre si se $$\text{m.d.c.}(a,b)=1$$.

Exemplo

​​Como já viste previamente, $$\text{m.d.c.}(12,20)=4$$ e, por isso, o número $$12$$ e o número $$20$$ não são primos entre si. No entanto, repara que se dividirmos estes números pelo seu máximo divisor comum, os números resultantes são primos entre si:

$$\begin{aligned}\frac{12}{\text{m.d.c.(12,20)}}=\frac{12}{4}&=3 \\\\\frac{20}{\text{m.d.c.(12,20)}}=\frac{20}{4}&=5\end{aligned}$$​​