Cálculo do produto, quociente e potência de potências
Produto de potências
Quando temos potências numa multiplicação com a mesma base ou o mesmo expoente, existem propriedades que nos permitem simplificar os cálculos.
Produto de potências com a mesma base
O resultado da multiplicação de potências com a mesma base é uma potência com a mesma base que os fatores, mas em que o seu expoente é a soma dos expoentes da multiplicação.
ab×ac=ab+c
Exemplo
82×84=8×8×8×8×8×8=86
Produto de potências com o mesmo expoente
Para encontrar o resultado da multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantemos o valor do expoente e multiplicamos as bases dos fatores.
ac×bc=(a×b)c
Exemplo
43×33=4×4×4×3×3×3=(4×3)×(4×3)×(4×3)=(4×3)3=123
Produto de potências com a mesma base e o mesmo expoente
No caso de os fatores da multiplicação terem a mesma base e o mesmo expoente, podemos aplicar qualquer uma das propriedades que vimos acima: a soma dos expoentes ou a multiplicação das bases.
ab×ab=a(b+b) ou ab×ab=(a×a)b
Exemplo
43×43=4(3+3)=46=4096
43×43=(4×4)3=163=4096
Quociente de potências
Tal como para a multiplicação de potências, também podemos usar regras especiais para a divisão de potências no caso de estas terem a mesma base ou o mesmo expoente.
Quociente de potências com a mesma base
Para calcularmos o resultado da divisão de potências com a mesma base, mantemos a base e subtraímos ao expoente do dividendo o expoente do divisor.
ab:ac=a(b−c)
Exemplo
46:44=4×4×4×44×4×4×4×4×4=4×4=42
Quociente de potências com o mesmo expoente
Para encontrarmos o resultado da divisão de potências com o mesmo expoente, mantemos o expoente e dividimos o valor da base do dividendo pelo valor da base do divisor.
ac:bc=(a:b)c
Exemplo
63:43=4×4×46×6×6=46×46×46=(46)3
Quociente de potências com a mesma base e o mesmo expoente
No caso de as potências a dividir terem tanto a mesma base como o mesmo expoente, devemos escolher uma das propriedades a aplicar: ou a subtração dos expoentes ou a divisão das bases.
ab:ab=ab−b ou ab:ab=(a:a)b
Exemplo
23:23=23−3=20=1
23:23=(2:2)3=13=1
Nota: visto que o dividendo e o divisor são iguais, o resultado da divisão de potências com a mesma base e o mesmo expoente será sempre igual a 1.
Potência de uma potência
Chamamos potência de potência a uma expressão numérica sob a forma de potência cuja base é ela mesmo uma potência. Se x um número x for um número e p,q∈Z, (xp)q é uma potência de potência.
O resultado terá a mesma base e o expoente será o produto de ambos os expoentes das potências.
Como se multiplicam e dividem potências com o mesmo expoente?
Para a multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantemos o valor do expoente e multiplicamos as bases dos fatores. No caso da divisão, mantemos a base e subtraímos o expoente do divisor ao expoente do dividendo.
Como se multiplicam e dividem potências com expoentes iguais?
Mantemos o expoente e multiplicamos/dividimos o valor das bases.
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