Cálculo do produto, quociente e potência de potências

Produto de potências

Quando temos potências numa multiplicação com a mesma base ou o mesmo expoente, existem propriedades que nos permitem simplificar os cálculos.

Produto de potências com a mesma base

O resultado da multiplicação de potências com a mesma base é uma potência com a mesma base que os fatores, mas em que o seu expoente é a soma dos expoentes da multiplicação.

$a^b\times a^c=a^{b+c}$

Exemplo

$8^2\times8^4=8\times8\times8\times8\times8\times8=8^6$

Produto de potências com o mesmo expoente

Para encontrar o resultado da multiplicação de potências com o mesmo expoente, mantemos o valor do expoente e multiplicamos as bases dos fatores.

$a^c\times b^c=(a\times b)^c$

Exemplo

$4^3\times3^3=4\times4\times4\times3\times3\times3=(4\times3)\times(4\times3)\times(4\times3)=(4\times3)^3=12^3$

Produto de potências com a mesma base e o mesmo expoente

No caso de os fatores da multiplicação terem a mesma base e o mesmo expoente, podemos aplicar qualquer uma das propriedades que vimos acima: a soma dos expoentes ou a multiplicação das bases.

$a^b\times a^b=a^{(b+b)}$ ou $a^b\times a^b=(a\times a)^b$

Exemplo

$4^3\times4^3=4^{(3+3)}=4^6=4096$

$4^3\times4^3=(4\times4)^3=16^3=4096$

Quociente de potências

Tal como para a multiplicação de potências, também podemos usar regras especiais para a divisão de potências no caso de estas terem a mesma base ou o mesmo expoente.

Quociente de potências com a mesma base

Para calcularmos o resultado da divisão de potências com a mesma base, mantemos a base e subtraímos ao expoente do dividendo o expoente do divisor.

$a^b:a^c=a^{(b-c)}$

Exemplo

$4^6:4^4=\frac{\cancel{4}\times\cancel{4}\times\cancel{4}\times\cancel{4}\times4\times4}{\cancel{4}\times\cancel{4}\times\cancel{4}\times\cancel{4}}=4\times4=4^2$

Quociente de potências com o mesmo expoente

Para encontrarmos o resultado da divisão de potências com o mesmo expoente, mantemos o expoente e dividimos o valor da base do dividendo pelo valor da base do divisor.

$a^c:b^c=(a:b)^c$

Exemplo

$6^3:4^3=\frac{6\times6\times6}{4\times4\times4}=\frac{6}{4}\times\frac{6}{4}\times\frac{6}{4}=\left(\frac{6}{4}\right)^3$

Quociente de potências com a mesma base e o mesmo expoente

No caso de as potências a dividir terem tanto a mesma base como o mesmo expoente, devemos escolher uma das propriedades a aplicar: ou a subtração dos expoentes ou a divisão das bases.

$a^b:a^b=a^{b-b}$ ou $a^b:a^b=(a:a)^b$

Exemplo

$2^3:2^3=2^{3-3}=2^0=1$

$2^3:2^3=(2:2)^3=1^3=1$

Nota: visto que o dividendo e o divisor são iguais, o resultado da divisão de potências com a mesma base e o mesmo expoente será sempre igual a $1$ .

Potência de uma potência

Chamamos potência de potência a uma expressão numérica sob a forma de potência cuja base é ela mesmo uma potência. Se $x$ um número $x$ for um número e $p,q\in \mathbb{Z}$ , ${(x^{p})}^{q}$ é uma potência de potência.

Temos a seguinte relação importante:

$(x^p)^q=x^{p\times q}$

Exemplo

$(4^3)^2=4^{3\times2}=4^6=4096$

Nota: Repara que $(x^p)^q$ não é o mesmo que $x^{(p^q)}$ !

Exemplo

Pegando na nota acima,

$(4^3)^2=4^{3\times2}=4^6=4096$

$4^{3^2}=4^{3\times3\times3}=4^9=262144$