Estimação pontual e intervalar do valor médio

Estimação pontual do valor médio

​A estimação de um parâmetro através de um único valor é chamada de estimação pontual.

Para fazer estimação pontual do valor médio, recorre-se muitas vezes ao teorema do limite central, desde que a amostra em questão seja suficientemente grande ($n\geqslant30$​) e que seja obtida através de um processo aleatório. 

Exemplo

A taxa de adesão ao cartão de sócio da Universidade de Lisboa segue uma distribuição normal de valor médio $82$ e de desvio padrão $2$.

Qual é a probabilidade de se obter uma média entre $82$ e $96$​, em amostras aleatórias de dimensão $40$?

Como $n=40\geqslant30$, então podes aplicar o teorema do limite central:

$\overline{X}\text{\textasciitilde}N\Bigg(\mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigg)\Harr \overline{X}\text{\textasciitilde}N\Bigg(82, \dfrac{2}{\sqrt{40}}\Bigg)\Harr \overline{X}\text{\textasciitilde}N\Bigg(82, \dfrac{\sqrt{10}}{10}\Bigg)$

Assim, recorrendo à calculadora, sabes que $P(82<\overline{X}<96)=0{,}5$. 

Ou seja, a probabilidade de se obter uma média entre os $82$ e os $96$ em amostras aleatórias de dimensão $40$ é $0{,}5$.

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Estimação intervalar do ponto médio

A estimação por pontos leva a grandes erros, uma vez que, dependendo da amostra, o valor estimado para o parâmetro é diferente. Então, de forma a contornar isso, utiliza-se a estimação intervalar. Assim, ao invés de determinar um valor pontual, determina-se um intervalo de valores que contenha o parâmetro que se queira estimar e que seja possível controlar a probabilidade disso acontecer.

A esse intervalo, chama-se de intervalo de confiança, que é um intervalo em que há uma certa confiança de que o valor do parâmetro esteja nele contido. 

A essa confiança chama-se de grau ou nível de confiança.

Intervalo de confiança

O intervalo de confiança do valor médio ${\mu}$ de uma variável normal ${X}$, com o desvio padrão conhecido, é dado por: 

​$\Bigg]\bar{x}-z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{x}+z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Bigg[$, onde

• ​$n$ é a dimensão da amostra;
• $\bar{x}$ é a média amostral;​
  
• ​$\sigma$ é o desvio padrão da variável;
• $z$ é o valor relacionado com o grau de confiança.

Nota: Abaixo encontram-se os valores de $z$ para os graus de confiança mais utilizados:

Exemplo

A quantidade semanal de legumes que a população residente na região do Douro ingere segue uma distribuição de desvio padrão de $1\ kg$.

Selecionou-se uma amostra aleatória de $100$ residentes, cuja média é de $4 \ kg$.

Qual é o intervalo de confiança de $99\%$ para o valor médio da quantidade semanal de ingestão de legumes?

$\overline{X}$ é a variável aleatória que representa a média de amostras dos $100$ residentes.

Segundo o teorema do limite central, a distribuição de amostragem da média pode ser aproximada a uma normal, com valor médio $\mu$ e desvio padrão ${\dfrac{1}{\sqrt{100}}=0{,}1}$.

Tem-se que $z$ é tal que:

$P\Bigg(-z<\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<z\Bigg)=0{,}99$​​​

Mas isso é exatamente igual a:

$\begin{aligned}& F(z)-F(-z)=0{,}99\\\Harr \ & F(z)-[1-F(z)]=0{,}99\\\Harr \ & 2F(z)-1=0{,}99\\\Harr \ & F(z)=\dfrac{0{,}99+1}{2}=0{,}995\end{aligned}$

Consultando a tabela $N(0,1)$, retiras que $F(2{,}576)=0{,}995$, pelo que $z=2{,}576$.

Então,

$\begin{aligned}&P\Bigg(-2{,}576<\dfrac{4-\mu}{\frac{1}{\sqrt{100}}}<2{,}576\Bigg)=0{,}99\Harr \\\,\\\Harr \ & P\Bigg(-2{,}576<\dfrac{4-\mu}{0{,}1}<2{,}576\Bigg)=0{,}99\Harr \\\,\\\Harr \ & P(-4-2{,}576\times0{,}1<-\mu<-4+2{,}576\times0{,}1)=0{,}99\Harr \\\,\\\Harr \ & P(4+2{,}576\times0{,}1>\mu>4-2{,}576\times0{,}1)=0{,}99 \Harr \\\,\\\Harr \ & P(4-2{,}576\times0{,}1<\mu<4+2{,}576\times0{,}1)=0{,}99\end{aligned}$

Portanto, podes dizer que $]4-2{,}576\times0{,}1; \ 4+2{,}576\times0{,}1[=]3{,}7424; \ 4{,}2576[$ é um intervalo de confiança de nível $99\%$ para o parâmetro valor médio do consumo semanal de legumes pelos residentes do Douro.​

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Intervalo de confiança em amostras de dimensão superior a $\boldsymbol{30}$​

O intervalo de confiança do valor médio ${\mu}$ de uma variável normal ${X}$, com desvio padrão populacional desconhecido e cuja amostra tem uma dimensão superior a ${30}$ é dado por:

$\Bigg]\bar{x}-z\dfrac{s}{\sqrt{n}},\bar{x}+z\dfrac{s}{\sqrt{n}} \Bigg[$, em que

• ​$n$ é a dimensão da amostra;
• $\bar{x}$ é a média amostral;​
  
• ​$s$ é o desvio padrão amostral;
• $z$ é o valor relacionado com o grau de confiança.

Exemplo

Uma fábrica de tábuas de corte de madeira assumiu que a espessura das tábuas deve ser de $10 \ cm$. 

Selecionaram-se $320$ tábuas para ver se a espessura estava correta e obtiveram-se os seguintes dados: $\bar{x}=10{,}2 \ cm$ e $s=0{,}2\ cm$.

Determina um intervalo com $95\%$ de confiança para a espessura média das tábuas fabricadas.

A amostra tem uma dimensão suficientemente grande para assumir que a distribuição das diferentes médias de amostras com $320$ de dimensão pode ser aproximada de uma distribuição normal $N\Bigg(\mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{320}}\Bigg)$.

Mas, como $\sigma$ é desconhecido, substitui-se por $s=0{,}2$ e tem-se na mesma uma distribuição normal.

Assim, o intervalo de confiança para um grau de $95\%$ de confiança é:

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$\Bigg]10{,}2-1{,}96\times\dfrac{0{,}2}{\sqrt{320}}; \ 10{,}2+1{,}96\times\dfrac{0{,}2}{\sqrt{320}}\Bigg[\approx]10{,}178; \ 10{,}222[$​​

Portanto, com uma confiança de $95\%$, estima-se que a espessura média das tábuas de madeira esteja entre $10{,}178$ e $10{,}222$ centímetros, o que não vai ao encontro do estabelecido.