Teorema da probabilidade total e Regra de Bayes

Interseção de acontecimentos

Como consequência da fórmula do cálculo da probabilidade condicionada, a probabilidade da interseção de dois acontecimentos $A$ e $B$ pode ser calculada da seguinte forma:

$P(A \cap B)=P(B) \times P(A|B)$

Exemplo

Existem duas bolas vermelhas, e três bolas amarelas dentro de um saco. As bolas estão numeradas de $1$ a $5$ .

Sabe-se que a probabilidade de se retirar um número ímpar, sendo a bola amarela, é de $\dfrac{2}{3}$ . Calcula a probabilidade de uma bola ser ímpar e amarela, simultaneamente.

Começa por nomear os acontecimentos:

A: "Sair bola ímpar".

B: "Sair bola amarela".

Tens que a probabilidade da bola ser amarela é dada por:

$P(B)=\dfrac{3}{5}$

A probabilidade de sair bola ímpar, sendo a bola amarela é dada por:

$P(A|B)=\dfrac{2}{3}$

Logo, a probabilidade da bola ter número ímpar e ser amarela é obtida da seguinte forma:

$P(A\cap B)=\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{5}$ 

Teorema da probabilidade total e Regra de Bayes

Como usual, designa-se o espaço amostral de uma experiência aleatória por $S$ . Seja $A$ um acontecimento e $B_1,\ldots, B_n$ acontecimentos que sejam

disjuntos dois a dois (ou seja, incompatíveis dois a dois) e,
$B_1 \cup... \cup B_n = S$

Então, o conjunto $\{B_1,\ldots,B_n\}$ é uma partição do espaço amostral. Neste caso, o teorema da probabilidade total afirma que:

$P(A)=P(B_1) \times P(A|B_1)+ P(B_2) \times P(A | B_2)+...+P(B_n) \times P(A | B_n)$

Com base na expressão anterior, pode-se definir a Regra de Bayes, consoante particionamos o espaço amostral em dois ou três acontecimentos:

Nº Acontecimentos	Regra de Bayes
Dois: $B$ e $\overline{B}$	$P(B\|A)=\dfrac{P(B)\times P(A\|B)}{P(B)\times P(A\|B)+P(\overline{B})\times P(A\|\overline{B})}$
Três: $B_1$ , $B_2$ e $B_3$	${P(B_k\|A)=\dfrac{P(B_k)\times P(A\|B_k)}{P(B_1)\times P(A\|B_1)+P({B_2})\times P(A\|{B_2)}+P(B_3)\times P(A\|B_3)}}$ (onde $k=1,2,3$ )

Exemplo

Uma empresa de produção de gelados fabrica gelados de três sabores: morango, nata e chocolate. A empresa utiliza dois ingredientes extra: pepitas de chocolate ou frutos vermelhos.

Sabes que:

Cada gelado só pode ter um sabor e um ingrediente extra;
A probabilidade de escolheres ao acaso um gelado de nata é de $40 \%$ ;
A probabilidade de escolheres um gelado com pepitas sabendo que é de nata é de $50 \%$ ;
A probabilidade de escolheres um gelado de morango com pepitas é de $30 \%$ ;
A probabilidade de escolheres um gelado de chocolate com pepitas é de $10 \%$ .

Calcula:

a) A probabilidade de se escolher ao acaso um gelado com pepitas.

Começa por nomear os acontecimentos:

A: "Gelado com pepitas"

M: "Gelado de morango"

N: "Gelado de nata"

C: "Gelado de chocolates"

Logo, tens que:

$P(N)=0{,}4$
$P(A |N)= 0{,}5$

$P(M \cap A)= 0{,}3$

$P(A \cap C) =0{,}1$

Pelo Teorema da Probabilidade Total:

$\begin{aligned}P(A)&=P(M) \times P(A|M)+ P(N) \times P(A | N)+P(C) \times P(A | C)=\\&=P (M \cap A)+ P(N) \times P(A | N) + P (C \cap A)=\\ &=0{,}3+0{,}4\times0{,}5+0{,}1=\\&=0{,}6\end{aligned}$

b) A probabilidade de um gelado ser de nata sabendo que tem pepitas.

Pela Regra de Bayes:

$P(N|A)=\dfrac{P(N)\times P(A|N)}{P(A)}=\dfrac{0{,}4\times0{,}5}{0{,}6}\approx0{,}33$