Distribuição de amostragem e teorema do limite central: Conceito e aplicação

Estimação de parâmetros

A estimação de parâmetros é um método que, partindo de uma dada amostra, utiliza estatísticas para estimar valores sobre os parâmetros.

Exemplo

Se quiseres saber a altura média de todos os encarregados de educação do país, podes pegar numa amostra de $$200$$ encarregados de educação, fazer a média amostral dessas alturas e inferir que a altura média dos encarregados de educação é essa média amostral. Neste caso, o parâmetro é a altura média dos encarregados de educação e a média das $$200$$ alturas dos encarregados de educação é a estatística.

• A estatística utilizada para estimar o valor médio, $$\mu$$, é a média amostral, $$\bar{x}$$, em que $$\overline{X }$$ é o estimador;
• A estatística utilizada para estimar a proporção populacional, $$p$$, é a proporção amostral, $$\^p$$, em que $$P$$ é o estimador.

A estimação de um parâmetro através de um único valor é chamado de estimação pontual. Esta estimação é feita recorrendo a um estimador, que é uma função da amostra em questão, ou seja, são variáveis aleatórias que podem assumir valores distintos, dependendo da amostra. A estimativa é o valor que o estimador assume em cada amostra.

Por outro lado, a estimação de um parâmetro através de um intervalo de valores é chamada de estimação intervalar.

O erro de amostragem é a diferença entre o valor do parâmetro e a estimativa feita através do estimador.

Nota: Amostras diferentes levam a estimativas diferentes! 

Distribuição de amostragem

A distribuição de amostragem é o conjunto de todos os valores possíveis que uma estatística pode assumir, obtidos através de todas as amostras possíveis, cuja dimensão é $$n$$.

Exemplo

Considera uma população constituída pelas alturas, em centímetros, de 3 alunos de uma escola de Lisboa: $$(159,163,182)$$.

Define a distribuição de amostragem do estimador média ($$\overline{X}$$), que representa essa população.

Se selecionares aleatoriamente uma amostra de dois elementos, por exemplo, $$X=(159,163)$$, a média da amostra é dada por $$\overline{X}=\dfrac{159+163}{2}=161$$.

Este valor é diferente do valor médio da população: $$\mu=\dfrac{159+163+182}{3}=168$$.

Neste caso, como a população tem apenas $$3$$ elementos, consegues calcular o valor médio da população, mas, se a população tivesse muitos elementos, isso era quase impossível.

Podes ter, no total, $$3^2=9$$ amostras de dois elementos extraídas da população das alturas dos $$3$$ alunos da escola de Lisboa:

As médias das $$9$$ amostras são as seguintes:

Assim, $$\overline{X}$$ é uma variável aleatória e é possível escrever a sua distribuição de probabilidade.

Distribuição de amostragem do estimador média, $$\overline{X}$$:

Valor médio e desvio padrão da distribuição de amostragem do estimador média

O valor médio da distribuição de amostragem da média, $$\mu_{\overline{X}}$$, é igual ao valor médio da população, $$\mu$$.

Ou seja, o estimador média é não enviesado. 

$$\boldsymbol{\mu_{\overline{X}}=\mu}$$

Por sua vez, o desvio padrão da distribuição de amostragem da média, $$\sigma_{\overline{X}}$$, é igual a $$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$, em que $$n$$ é o número de elementos das amostras.

$$\boldsymbol{\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$

Exemplo

Segundo o exemplo de cima, tens que:

$$\mu=\dfrac{159+163+182}{3}=168$$

$$\mu_{\overline{X}}=\dfrac{1}{9}\times159+\dfrac{2}{9}\times161+\dfrac{1}{9}\times163+\dfrac{2}{9}\times170{,}5+\dfrac{2}{9}\times172{,}5+\dfrac{1}{9}\times182=168$$

Portanto, $$\mu_{\overline{X}}=\mu$$

$$\sigma=\sqrt{\dfrac{(159-168)^2+(163-168)^2+(182-168)^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{302}{3}}$$

$${\sigma_{\overline{X}}=\sqrt{\frac{(159-168)^2}{9}+2\times\frac{(161-168)^2}{9}+\frac{(163-168)^2}{9}+2\times\frac{(170{,}5-168)^2}{9}+2\frac{(172{,}5-168)^2}{9}+\frac{(182-168)^2}{9}}}=\sqrt{\frac{151}{3}}$$​​

Portanto, $$\sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{\frac{302}{3}}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{151}{3}}$$

Teorema do limite central

O teorema do limite central é uma forma de evitar calcular a distribuição de amostragem dos estimadores para fazer estimação de parâmetros.

Assim, se uma amostra for suficientemente grande, ($$n\geqslant30$$), e for obtida por um processo aleatório, a distribuição de amostragem da média $$\overline{X}$$ pode ser aproximada a uma distribuição normal com valor médio $$\mu$$ e desvio padrão $$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$, em que $$\mu$$ é o valor médio da população $$X$$ e $$\sigma$$ é o seu desvio padrão. Escreve-se:

$$\boldsymbol{\overline{X}\sim N\Bigg(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Bigg)}$$

• Se a população seguir uma distribuição normal, então podes aplicar o teorema do limite central, independentemente da dimensão da amostra, desde que o desvio padrão seja conhecido;
• Quanto maior for a dimensão da amostra, melhor a distribuição de amostragem da média se aproxima à distribuição normal e menor será o desvio padrão da distribuição de amostragem, ou seja, menor será o erro cometido na estimação do valor médio.
  

Exemplo

Considera uma população constituída por $$500$$ gatos. Sabe-se que o valor médio do peso dos gatos é $$4{,}2\ kg$$ e o desvio padrão é $$0{,}15 \ kg$$.

Recolheu-se uma amostra aleatória de $$82$$ gatos.

Define a distribuição de amostragem da média do peso dos gatos.

Como $$n=82\geqslant30$$ e a amostra é aleatória, podes utilizar o teorema do limite central.

$$\mu=4{,}2 \ kg$$

$$\sigma=0{,}15 \ kg$$

$$n=82\Leftrightarrow \sqrt{n}=\sqrt{82}$$

A distribuição de amostragem da média do peso dos gatos é normal e é definida da seguinte forma:

$$\overline{X}\sim N\Bigg(4{,}2;\dfrac{0{,}15}{\sqrt{82}}\Bigg)$$