Distribuições de probabilidade: Conceitos e função

Variável aleatória

Considerando uma experiência aleatória com um espaço amostral $$S$$, numérica ou não, uma variável aleatória será toda a função que associar um número real a cada elemento do espaço amostral.

Exemplo

Considera o seguinte saco com bolas:

A experiência aleatória que consiste em retirar duas bolas consecutivamente do saco tem como espaço amostral:

$$S=\lbrace \text{(riscas, branca),(riscas, preta),(riscas, riscas),(branca, preta),(branca, branca)},\\\text{(branca, riscas), (preta, branca), (preta, preta), (preta, riscas)} \rbrace$$

A função $$X$$ que a cada elemento do espaço amostral faz corresponder o número de vezes que sai uma bola de riscas é uma variável aleatória.

Neste caso, a variável aleatória pode tomar os valores $$X=0, X=1$$ ou $$X=2$$. Ou seja, em duas extrações, pode não calhar uma bola de riscas, pode calhar apenas uma vez, ou pode calhar as duas vezes.

Tipos de variáveis aleatórias

As variáveis aleatórias podem ser divididas em dois grandes subgrupos. São eles o das variáveis aleatórias discretas e contínuas.

Variáveis aleatórias discretas

Estas variáveis só podem tomar um número finito ou um número infinito numerável de valores possíveis.

Exemplo

A variável aleatória associada ao valor obtido quando se retira uma carta de $$2$$ a $$10$$ de um baralho corresponde a um número finito inteiro entre $$2$$ e $$10$$.

A variável aleatória associada ao número de vezes que é necessário lançar um dado até obter pontuação máxima é impossível de prever a priori. É, no entanto, um número infinito numerável.

Ambas estas variáveis são discretas.

Variáveis aleatórias contínuas

Se uma variável puder tomar todos os valores contidos num intervalo, será considerada contínua.

Exemplo

O saldo bancário de uma amostra populacional é uma variável contínua, uma vez que poderá tomar qualquer valor entre o mínimo e o máximo desse conjunto.

Função de distribuição de probabilidade

A função de distribuição de probabilidade será aquela que a cada valor da variável aleatória faz corresponder a probabilidade do acontecimento que lhe é associado.

Em vez de quantificar o acontecimento, esta função quantifica a probabilidade de o mesmo ocorrer. Repara no exemplo para perceberes melhor.

Exemplo

Volta a considerar o exemplo anterior, com espaço amostral:

$$S=\lbrace \text{(riscas, branca),(riscas, preta),(riscas, riscas),(branca, preta),(branca, branca)},\\\text{(branca, riscas), (preta, branca), (preta, preta), (preta, riscas)} \rbrace$$​​

A variável aleatória que a cada elemento do espaço amostral faz corresponder o número de vezes que sai bola de riscas podia tomar os valores $$X=0,X=1$$ ou $$X=2$$.

Tens que: $$P(X=0)=\dfrac{4}{9}$$, porque em $$9$$ acontecimentos possíveis, em $$4$$ deles não é escolhida nenhuma bola de riscas. Além disso, $$P(X=1)=\dfrac{4}{9}$$ e $$P(X=2)=\dfrac{1}{9}$$.

Esta é a função de distribuição de probabilidade, representada por:

Nota: cada probabilidade contida na função de distribuição de probabilidade tem de tomar valores entre $$0$$ e $$1$$. Para além disso, a soma de todas as probabilidades é $$1$$.