Modelo linear e regressões lineares

Explicação

O modelo linear é contínuo e definido pela expressão $$P(t)=P_o+r\times t$$, em que $$P_0$$ é o tamanho inicial da população e $$t$$ representa o tempo em que se estuda a evolução da mesma. 

Lembra-te que $$r$$ é a taxa de crescimento ou decrescimento da população, pelo que se $$\boldsymbol{r>0}$$, $$P(t)$$ aumenta ao longo do tempo, verificando-se crescimento da população. Já se $$\boldsymbol{r<0}$$, $$P(t)$$ diminui ao longo do tempo, o que se traduz num decréscimo da população.​

Por ser contínuo, este modelo é utilizado para populações em que o número de indivíduos é grande, tornando-se possível calcular o tamanho de uma população em qualquer altura, e não apenas por intervalos de números naturais.

Exemplo

Pretende-se analisar a evolução do tamanho de uma população de corujas ao longo do tempo e de forma contínua. Sabe-se que a expressão que a modela em função do tempo, $$t$$, em meses, é $$C(t)=300+20t$$.

Então, tem-se que $$C(0)=C_0=300+20\times0=300$$, pelo que se conclui que a população inicial de corujas era de $$300$$​ indivíduos.

Para saber o tamanho da população ao fim de três meses, calcula-se $$C(3)$$, pelo que se obtém $$C(3)=300+20\times3=30+60=360$$ corujas.

Ao contrário do que se passa em modelos discretos, este tipo de modelo permite calcular, por exemplo, o tamanho da população ao fim de cinco meses e meio através de $$C(5{,}5)=300+20\times5{,}5=300+110=410$$, ou seja, ao fim de cinco meses e meio, a população de corujas tem $$410$$ indivíduos.

Regressão linear

Quando o crescimento da população não é regular, torna-se difícil encontrar a progressão aritmética que se aplica aos dados, tornando-se necessário criar um modelo linear que se ajuste aos dados existentes, recorrendo-se à regressão linear.

Este processo consiste em encontrar a reta de equação $$y=ax+b$$ que melhor se ajusta a um conjunto de pontos de um diagrama de dispersão. Podes fazer isto colocando na calculadora os valores de tempo numa lista de valores de abcissas e os tamanhos da população correspondentes noutra de valores de ordenadas e juntá-los numa só função com a função de regressão linear.

Exemplo

Considera agora que os valores da população de corujas foram os registados na tabela abaixo, não se enquadrando numa expressão típica do modelo linear.

Utilizando o método referido acima para calculadoras gráficas, obtém-se a equação $$y=12{,}92x+230{,}87$$, pelo que a expressão seria $$P(t)=230{,}87+12{,}92t$$.