Interpretação dos intervalos de confiança: precisão, erro e dimensão ótima

​​Interpretação

Um intervalo de confiança de, por exemplo, $$90\%$$, significa que, se recolheres muitas amostras aleatórias de dimensão $$n$$ e construíres os respetivos intervalos de confiança para cada amostra, cerca de $$90\%$$ desses intervalos irão conter o valor do parâmetro a estimar, pelo que os restantes $$10\%$$ não.

Mas isso não quer dizer que tenhamos a certeza que um intervalo específico contenha o valor do parâmetro. 

Apenas se está "confiante a $$90\%$$​" de que o intervalo calculado através de uma dada amostra contenha o valor do parâmetro desconhecido.

Precisão, erro e dimensão ótima

O processo de amostragem levanta dois problemas: o enviesamento da amostra e a falta de precisão.

O enviesamento tem a ver com o desvio no valor da estatística em comparação com o valor do parâmetro. Este problema pode ser reduzido com o recurso a amostras aleatórias.

Já a falta de precisão tem a ver com a variabilidade nos valores da estatística, algo que pode ser minimizado com o aumento da dimensão da amostra.

Margem de erro​

A margem de erro, $$E$$, no caso da estimação do valor médio, com $$\sigma$$ conhecido ou não, é:

​$$E=z\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ ou $$E=z\dfrac{s}{\sqrt{n}}$$, em que

• ​$$n$$ é a dimensão da amostra;
• $$\sigma$$ é o desvio padrão da variável;
• ​$$s$$ é o desvio padrão amostral;​
  
• $$z$$ é o valor relacionado com o grau de confiança.​
  

A margem de erro, $$E$$​, no caso da estimação da proporção populacional, é:

$$E=z\sqrt{\dfrac{\^p(1-\^p)}{n}}$$, em que

• ​$$\^p$$ é a proporção amostral.​
  

Nota: Quanto maior for a dimensão da amostra, menor será a amplitude do intervalo, menor será o erro e mais precisa será a estimativa!

Exemplo

Pretende-se estimar a quantidade média de água, em litros, que as famílias portuguesas gastam durante o dia. Para isso, selecionou-se uma amostra de $$74$$ famílias e obtiveram-se os seguintes dados: $$\bar{x}=19 \ L$$ e $$\sigma=2{,}4 \ L$$.

Constrói intervalos de confiança a $$95\%$$ e a $$99\%$$ para o parâmetro do gasto médio de água da população e verifica como varia a margem de erro com o grau de confiança.

Intervalo de $$95\%$$: $$\Bigg]19-1{,}96\times\dfrac{2{,}4}{\sqrt{74}}; 19+1{,}96\times\dfrac{2{,}4}{\sqrt{74}}\Bigg[\approx]18{,}453; \ 19{,}547[$$

Margem de erro : $$E=1{,}96\times\dfrac{2{,}4}{\sqrt{74}}\approx0{,}547 \ L$$

Intervalo de $$99\%$$: $$\Bigg]19-2{,}576\times\dfrac{2{,}4}{\sqrt{74}}; 19+2{,}576\times\dfrac{2{,}4}{\sqrt{74}}\Bigg[\approx]18{,}281; \ 19{,}719[$$

Margem de erro: $$2{,}576\times\dfrac{2{,}4}{\sqrt{74}}\approx0{,}719 \ L$$

Portanto, podes verificar que, quanto maior é o nível de confiança, maior é o intervalo e maior é a margem de erro.​

Dimensão ótima da amostra

Quando o parâmetro é o valor médio, a dimensão da amostra para um dado erro máximo, $$|\bar{x}-\mu|\leqslant E$$, é:

• $$n=\Bigg(\dfrac{z\times\sigma}{E}\Bigg)^2$$, quando $$\sigma$$ é conhecido;
• ​$$n=\Bigg(\dfrac{z\times s}{E}\Bigg)^2$$, quando $$\sigma$$ é desconhecido.

Quando o parâmetro é a proporção populacional, a dimensão da amostra para um dado erro máximo, $$|\^p-p|\leqslant E$$, é:

​$$n=\Bigg(\dfrac{z}{E}\Bigg)^2\times\^p\times(1-\^p)$$​​

Nota: Quando o valor de $$n$$ não é inteiro, arredonda-se por excesso.

Exemplo

Considera uma amostra aleatória de $$408$$ adultos, em que $$68$$ ainda vivem em casa dos pais.

Num nível de confiança de $$90\%$$, qual é a dimensão da amostra, para que o erro seja, no máximo, $$8$$ pontos percentuais?

Sabe-se que $$\^p=\dfrac{68}{408}=\dfrac{1}{6}\approx0{,}167$$, $$z=1{,}645$$ e $$E=0{,}08$$.

Então,

$$n=\Bigg(\dfrac{1{,}645}{0{,}08}\Bigg)^2\times\dfrac{1}{6}\times\Bigg(1-\dfrac{1}{6}\Bigg)\approx58{,}725$$​​

Conclui-se que, para que o erro seja no máximo de $$8$$ pontos percentuais, num intervalo de confiança de $$90\%$$, a dimensão da amostra tem que ser $$59$$.