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Ecuaciones polinómicas de cuarto grado o superior

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Vídeo Explicativo

Docente: Jorge

Resumen

Ecuaciones polinómicas de cuarto grado o superior

Ecuaciones polinómicas

Una ecuación polinómica es aquella en la que se puede agrupar en un miembro de la ecuación un polinomio de tal manera que tenga la siguiente forma:


​anxn+⋯+a2x2+a1x+a0=0a_nx^n+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0=0an​xn+⋯+a2​x2+a1​x+a0​=0 


Donde an,…,a2,a1,a0a_n, \dots,a_2, a_1, a_0an​,…,a2​,a1​,a0​ son los coeficientes del polinomio de grado nnn. 


Recuerda que: Una ecuación polinómica de grado nnn tiene como máximo nnn soluciones.


Resolver ecuaciones polinómicas

Las ecuaciones de primer y segundo grado tienen un método propio para resolverse. Sin embargo, para las ecuaciones de grado mayor no existe una fórmula que proporcione el resultado de manera directa, hay que seguir los siguientes pasos:


​​​​​​PROCEDIMIENTO

1.
Agrupar términos en el mismo lado de la ecuación.
x4+6x3=9x2+14xx4+6x3−9x2−14x=0x^4+6x^3=9x^2+14x \newline x^4+6x^3-9x^2-14x=0x4+6x3=9x2+14xx4+6x3−9x2−14x=0​​
2.
Factorizar el polinomio.
x(x+1)(x−2)(x+7)=0x(x+1)(x-2)(x+7)=0x(x+1)(x−2)(x+7)=0​​
3.
Resolver la ecuación factorizada.
​x1=0x+1=0⟶x2=−1x−2=0⟶x3=2x+7=0⟶x4=−7x_1=0 \newline x+1=0 \longrightarrow x_2=-1 \newline x-2=0 \longrightarrow x_3=2 \newline x+7=0 \longrightarrow x_4=-7x1​=0x+1=0⟶x2​=−1x−2=0⟶x3​=2x+7=0⟶x4​=−7​​


Resolver ecuaciones con fracciones algebraicas 

Las ecuaciones con fracciones algebraicas, también conocidas como ecuaciones racionales, son aquellas en las que la incógnita aparece en algún denominador. Para resolverlas sigue los siguientes pasos.


procedimiento

1.
Hallar el m.c.m de los denominadores.
3xx+1−2x−1=−3−xx2−1mcm=x2−1=(x+1)(x−1)\cfrac{3x}{x+1}-\cfrac{2}{x-1}=\cfrac{-3-x}{x^2-1} \newline mcm = x^2-1=(x+1)(x-1)x+13x​−x−12​=x2−1−3−x​mcm=x2−1=(x+1)(x−1)​​
2.
Se pone el común denominador en las fracciones para poder eliminarlas. 
​3x(x−1)(x+1)(x−1)−2(x+1)(x+1)(x−1)=−3−xx2−1\cfrac{3x(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\cfrac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\cfrac{-3-x}{x^2-1}(x+1)(x−1)3x(x−1)​−(x+1)(x−1)2(x+1)​=x2−1−3−x​​​
3.
Resolver como una ecuación polinómica.
​3x2−3x−2x−2=−3−x3x2−4x+1=0x1=1;x2=133x^2-3x-2x-2=-3-x\newline 3x^2-4x+1=0\newline x_1=1; x_2=\cfrac{1}{3}3x2−3x−2x−2=−3−x3x2−4x+1=0x1​=1;x2​=31​​​
4.
Comprobar que las soluciones obtenidas son válidas.
​x=1 anula el denominador, no es vaˊlida.x=13 uˊnica solucioˊn.x=1 \ \text{anula el denominador, no es válida.} \newline x=\cfrac{1}{3} \ \text{única solución.}x=1 anula el denominador, no es vaˊlida.x=31​ uˊnica solucioˊn.​​


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Preguntas frecuentes

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación polinómica?

Una ecuación polinómica puede tener tantas soluciones como indique el grado de la ecuación.

¿Cómo resuelvo una ecuación polinómica?

Para resolver una ecuación polinómica de grado superior a 2 es necesario factorizar el polinomio aplicando, por lo general, la Regla de Ruffini. Una vez se tenga el polinomio factorizado se resuelve la ecuación igualada a cero.

¿Qué es una ecuación polinómica?

Son aquellas ecuaciones compuestas por expresiones algebraicas que son polinomios.

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