Balanço energético de um sistema termodinâmico

Objetivo

Estabelecimento de balanços energéticos e determinação da entalpia de fusão do gelo.

Explicação Teórica

Quando dois corpos com temperaturas distintas entram em contacto, ocorre a transferência de energia sob a forma de calor do corpo com temperatura mais elevada para o corpo com temperatura mais baixa. Uma vez igualada a temperatura dos dois corpos, diz-se que o sistema entrou em equilíbrio térmico.

Transferência de energia sem mudança de estado físico

A energia que é transferida ( $E$ ou Q), seja ela recebida ou cedida (a uma pressão constante) é dada por:

$E=m\,c\, \Delta T$

Onde $c$ é a capacidade térmica mássica da substância (em $J\,kg^{-1}\,K^{-1}$ ).

Se considerares a mistura de duas massas de água, e considerando o sistema como isolado:

$E_{{cedida}_1}+E_{{recebida}_2}=0 \Leftrightarrow m_1 \times c\times( \theta_{final} - \theta_{1_{inicial}}) = -(m_2 \times c\times( \theta_{final} - \theta_{2_{inicial}}))$

Transferência de energia com mudança de estado físico

Neste caso, não ocorre variação da temperatura durante a mudança de estado físico.

Durante a fusão do gelo

A energia fornecida sob a forma de calor é utilizada para que as ligações entre as moléculas de água sejam quebradas.

Após a fusão do gelo

A energia sob a forma de calor permite o aumento da temperatura através do aumento da agitação das moléculas.

$\Delta H_{fusão}$ (variação de entalpia mássica de fusão) $\rightarrow$ energia necessária fornecer a uma massa de substância para que esta, uma vez atingida a temperatura de fusão, funda totalmente (Unidades S.I. $\rightarrow J\,kg^{-1}$ )

$\Delta H_{fusão\,gelo}=3{,}34 \times 10^5\, J\,kg^{-1}$

A partir da entalpia de fusão do gelo, é possível retirar a energia necessária para que uma massa de gelo passe totalmente do estado sólido para o estado líquido (a $0ºC$ ).

$E_{fusão}=m\,\Delta H_{fusão}$

A energia recebida pelo gelo é positiva, pelo que a variação da entalpia mássica de fusão será também positiva:

$E_{fusão}>0 \Rightarrow \Delta H_{fusão} >0$

Para determinar a entalpia de fusão do gelo, adicionar uma massa de água líquida a uma massa de água sólida e, através da variação da temperatura, estabelecer os balanços energéticos.

Transferências de energia que ocorrem da água quente para o gelo e vice-versa:

Transferência de energia sob a forma de calor da água quente para o gelo;
Transferência de energia da água quente para a água resultante da fusão do gelo.

Nota: Assume-se que não existem trocas de energia com o exterior e que todo o gelo se encontra a $0ºC$ .

Pela Lei de Conservação de Energia:

$\Delta U_{Total} =0 \Leftrightarrow 0=E_{cedida\,pela\,água}+E_{recebida\,pelo\,gelo} \Leftrightarrow E_{cedida\,pela\,água}=-E_{recebida\,pelo\,gelo}$

$\\E_{cedida \ pela \ água}= m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{final\,água}-\theta_{inicial\,água})\\E_{recebida\,pelo\,gelo} = E_{fusão\,gelo} + E_{aumento \ temperatura \ gelo}\\E_{aumento \ temperatura \ gelo} = m_{gelo}\times c_{gelo} \times (\theta_{final\,gelo}-\theta_{inicial\,gelo})\\E_{fusão\,gelo}=m_{gelo}\times \Delta H_{fusão\,gelo}\\E_{recebida\,pelo\,gelo}=m_{gelo}\times c_{gelo} \times (\theta_{final\,gelo}-\theta_{inicial\,gelo}) + m_{gelo}\times \Delta H_{fusão\,gelo}$

Tendo em conta as expressões que se deduziu anteriormente, tens que:

$E_{cedida\,pela\,água}=-E_{recebida\,pelo\,gelo} \Leftrightarrow m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{final\,água}-\theta_{inicial\,água})= - (m_{gelo}\times c_{gelo} \times (\theta_{final\,gelo}-\theta_{inicial\,gelo}) + m_{gelo}\times \Delta H_{fusão\,gelo})$

Materiais

Água quente;
Cubos de gelo;
Recipiente isolante;
$2$ termómetros;
Balança;
Copos de precipitação;
Tina;
Vareta de vidro;
Pinça;
Papel absorvente;
Cronómetro.

Procedimento

Mistura de duas massas de água

1.	Medir $2$ massas de água (uma de $100\,g$ e outra de $150\,g$ ), aquecendo a segunda a $40ºC$ .
2.	Adicionar as massas de água a dois gobelés distintos, inserindo-os em recipientes isolantes.
3.	Registar os valores de massa e temperatura iniciais para cada uma das amostras.
4.	Juntar as duas massas de água e medir a temperatura em equilíbrio.
5.	Comparar o resultado obtido com a previsão.

Determinação da entalpia de fusão do gelo e da temperatura de equilíbrio

1.	Colocar algum gelo em água.
2.	Medir uma massa de água com cerca de $120\,g$ a $40ºC$
3.	Adicionar a massa de água a um gobelé, inserindo-o num recipiente isolante.
4.	Registar a massa e a temperatura inicial da amostra.
5.	Quando o gelo atingir os $0ºC$ , adicionar ao gobelé $20\,g$ do mesmo.
6.	Fazer sucessivas medições da temperatura (de $60$ em $60\,s$ ) até que esta estabilize, tendo em atenção para isolar ao máximo o sistema criado.

Tratamento de Resultados

Para determinar a temperatura em equilíbrio da mistura das duas massas de água líquida, vamos estabelecer um balanço energético.

$E_{{cedida}_1}= -E_{{recebida}_2} \Leftrightarrow m_1 \times c( \theta_{equilíbrio} - \theta_{1_{inicial}}) = -(m_2 \times c( \theta_{equilíbrio} - \theta_{2_{inicial}}))$

$m_1=100{,}10 \pm 0{,}01\,g=1{,}001\times 10^{-1}\,kg\\m_2=150{,}30\pm 0{,}01\,g=1{,}503\times 10^{-1}\,kg\\ \theta_{1_{inicial}}=25{,}20ºC \pm 0{,}05 \ ºC= 298{,}35\,K\\ \theta_{2_{inicial}}=40{,}10\pm 0{,}05 \ ºC = 313{,}25K\\$

Sabemos também que:

$c_{água}=4186 \ J\,kg^{-1}K^{-1}$

Substituindo na equação de cima obténs:

$m_1 \times c( \theta_{equilíbrio} - \theta_{1_{inicial}}) = -(m_2 \times c( \theta_{equilíbrio} - \theta_{2_{inicial}})) \Leftrightarrow 1{,}001 \times 10^{-1} \times 4186 \times (\theta_{equilíbrio}-298{,}35) = - (1{,}503 \times 10^{-1} \times 4186 \times (\theta_{equilíbrio}-313{,}25)) \Leftrightarrow \theta_{equilíbrio}= 307{,}10 \ K=33{,}96 \ ºC$

Para determinar a entalpia de fusão do gelo, começamos por enunciar a Lei de Conservação de Energia, em que a variação da energia no sistema isolado criado é nula, porque não existem trocas de energia com o exterior.

No decorrer da experiência obtivemos os seguintes resultados:

$m_{água}=120{,}80 \pm 0{,}01\,g=1{,}208\times 10^{-1}\,kg\\m_{gelo}=21{,}50\pm 0{,}01\,g=2{,}150\times 10^{-2}\,kg\\ \theta_{inicial\ água}=40{,}30ºC \pm 0{,}05 \ ºC= 313{,}45\,K\\ \theta_{final\ água}=26{,}60\pm 0{,}05 \ ºC = 299{,}75K\\ \theta_{inicial\ gelo}=-5{,}00\pm 0{,}05 \ ºC = 268{,}15K\\ \theta_{final\ gelo}=0{,}00\pm 0{,}05 \ ºC = 273{,}15K$

Sabemos também que:

$c_{água}=4186 \ J\,kg^{-1}K^{-1}\\c_{gelo}=2090 \ J\,kg^{-1}K^{-1}$

Substituindo na última expressão deduzida obtemos:

$m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{final\,água}-\theta_{inicial\,água})= - (m_{gelo}\times c_{gelo} \times (\theta_{final\,gelo}-\theta_{inicial\,gelo}) + m_{gelo}\times \Delta H_{fusão\,gelo}) \\ \Leftrightarrow (1{,}208 \times 10^{-1})\times 4186 \times (299{,}7-313{,}45)= - ((2{,}15 \times 10^{-2})\times 2090 \times (273{,}15-268{,}15) + (2{,}15 \times 10^{-2})\times \Delta H_{fusão\,gelo}) \Leftrightarrow \Delta H_{fusão\,gelo} = 3{,}30 \times 10^5 \ J \ kg^{-1}$

Para determinar a temperatura quando o sistema atinge o equilíbrio térmico, precisamos de introduzir outros parâmetro à equação, que corresponde à energia necessária para que a temperatura da água e do gelo fundido se iguale.

$\\E_{cedida \ pela \ água}= m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{equilíbrio}-\theta_{inicial\,água})\\E_{recebida\,pelo\,gelo} = E_{fusão\,gelo} + E_{aumento \ temperatura \ gelo} + E_{igualar \ temperatura \ água \ e \ gelo} \\E_{aumento \ temperatura \ gelo} = m_{gelo}\times c_{gelo} \times (\theta_{final\,gelo}-\theta_{inicial\,gelo})\\E_{fusão\,gelo}=m_{gelo}\times \Delta H_{fusão\,gelo}\\E_{igualar \ temperatura \ água \ e \ gelo} = m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{equilíbrio}-\theta_{fusão \ gelo})\\E_{recebida\,pelo\,gelo}=m_{gelo}\times c_{gelo} \times (\theta_{final\,gelo}-\theta_{inicial\,gelo}) + m_{gelo}\times \Delta H_{fusão\,gelo} + m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{equilíbrio}-\theta_{fusão \ gelo})$

Substituindo na equação da Lei da Conservação de Massa obténs:

$m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{equilíbrio} -\theta_{inicial\,água})=-(m_{gelo}\times c_{gelo} \times (\theta_{final\,gelo}-\theta_{inicial\,gelo}) + m_{gelo}\times \Delta H_{fusão\,gelo} + m_{água}\times c_{água} \times (\theta_{equilíbrio}-\theta_{fusão \ gelo})) \Leftrightarrow 509{,}944 \times (\theta_{equilíbrio}-313{,}45)=-(224{,}675 + 7095 + 89{,}87 \times(\theta_{equilíbrio}-273{,}15)) \Leftrightarrow \theta_{equilíbrio}=295{,}2 \ K = 22{,}05 \ ºC$