Coordenadas de um vetor no espaço

Base canónica

Fixado um referencial ortonormado do espaço, $$Oxyz$$, considera, em relação a esse referencial, os pontos $$X(1,0,0)$$, $$Y(0,1,0)$$ e $$Z(0,0,1)$$ e os vetores $${\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{OX}}$$, $${\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{OY}}$$ e $${\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{OZ}}$$.

O terno $$(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3})$$ é uma base do espaço vetorial dos vetores do espaço, chamada base canónica.​

Coordenadas de um vetor

Dado um vetor $$\overrightarrow{v}$$ no espaço, existe um e só um terno ordenado de números reais, $$(v_1,v_2,v_3)$$, tal que: 

$$\overrightarrow{v}=v_1\overrightarrow{e_1}+v_2\overrightarrow{e_2}+v_3\overrightarrow{e_3}$$​​

Esse terno corresponde às coordenadas do vetor $$\overrightarrow{v}$$ na base canónica do espaço vetorial em questão. Este vetor pode representar-se também por 

$$\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$$

Nota: Se dois vetores $$\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$$ e $$\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$$ forem iguais, então as suas coordenadas são iguais, ou seja, $$u_1=v_1$$, $$u_2=v_2$$ e $$u_3=v_3$$.

Vetor de posição

Dado um ponto $$A$$, num espaço em que está fixado um referencial ortonormado $$Oxyz$$, o vetor $$\overrightarrow{OA}$$ é designado por vetor de posição do ponto $$A$$. As suas coordenadas coincidem com as do ponto.

Exemplo

Determina as coordenadas do vetor posição do ponto $$G$$, representado na imagem:

As coordenadas do ponto $$G$$ são $$(3,4,2)$$, pelo que as coordenadas do vetor posição $$\overrightarrow{OG}$$ serão as mesmas. Tem-se então: 

$${\overrightarrow{OG}=3\overrightarrow{e_1}+4\overrightarrow{e_2}+2\overrightarrow{e_3}}$$ e $$\overrightarrow{OG}(3,4,2)$$

Operações com coordenadas de vetores

Dados os vetores $$\overrightarrow{u}(u_1,u_2,u_3)$$ e $$\overrightarrow{v}(v_1,v_2,v_3)$$ em relação a um referencial o.n. do espaço e o número real $$\lambda$$, definem-se as seguintes operações:

• $$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$$ que resulta num vetor de coordenadas $$(u_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3)$$
  
• ​​$$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$$ que resulta num vetor de coordenadas $$(u_1-v_1,u_2-v_2,u_3-v_3)$$
  
• $$\lambda\overrightarrow{u}$$ que resulta num vetor de coordenadas $$(\lambda u_1,\lambda u_2,\lambda u_3)$$
  

​

Exemplo

Dados os vetores $$\overrightarrow{u}(1,-3,2)$$ e $$\overrightarrow{v}(0,-3,-5)$$, determina as coordenadas do vetor $$3\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$$.

As coordenadas do vetor são:

$$3(1,-3,2)-(0,-3,-5) = (3,-9,6)-(0,-3,-5)=(3,-6,11)$$

Tal como acontece em duas dimensões, tens também que, em três dimensões, a soma de um ponto $$A$$ com um vetor $$\overrightarrow{u}$$ é um ponto $$B$$​ tal que $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$$.

Exemplo

Na figura acima, $$E+\overrightarrow{EF}=F$$. Além disso, $${\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EG}}$$.​