Equação vetorial de uma reta e vetor diretor

Vetor diretor de uma reta

Um vetor diretor de uma reta é qualquer vetor não nulo que tenha a mesma direção da reta.

Exemplo

Matemática A; Vetores no plano; 10º Ano; Equação vetorial de uma reta e vetor diretor

Como todas as retas que estão na figura são paralelas, os vetores também o são. Portanto, todos os vetores têm a mesma direção. Assim, os vetores $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\overrightarrow{c}$ e $\overrightarrow{u}$ são vetores diretores da reta $t$ .

Retas verticais

Considerando um referencial ortonormado $xOy$ com base do espaço vetorial de vetores no plano dada por $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ , os vetores diretores de retas paralelas ao eixo $Oy$ (ou seja, retas verticais) são sempre colineares a $\overrightarrow{j}$ .

Por outras palavras, os vetores diretores de retas verticais são todos os vetores que tenham coordenadas ${(0,\lambda), \ \lambda\isin\reals\setminus\{0\}}$ .

Exemplo

Matemática A; Vetores no plano; 10º Ano; Equação vetorial de uma reta e vetor diretor

Os vetores diretores da reta $t$ são $\overrightarrow{v}(0,3)$ e $\overrightarrow{z}(0,-4)$ .

O vetor $\overrightarrow{a}(2,2)$ não é vetor diretor, visto que não tem a mesma direção da reta $t$ , nem segue o formato $(0,m)$ .

Retas não verticais

Considerando um referencial ortonormado $xOy$ , um vetor $\overrightarrow{v}(v_1,v_2), \ v_1\not=0$ , e uma reta $r$ com declive $m$ ,

$\overrightarrow{v}$ é vetor diretor da reta $r$ se e só se $m={v_2\over v_1}$ .

Nota 1: O vetor de coordenadas $(1,m)$ é sempre vetor diretor de uma reta com declive $m$ .

Nota 2: Relembra que uma reta vertical não tem um declive bem definido.

Exemplo

Será que o vetor de coordenadas $(5,2)$ é vetor diretor da reta $DC$ ?

Matemática A; Vetores no plano; 10º Ano; Equação vetorial de uma reta e vetor diretor

O declive da reta $DC$ é:

$m={4-2\over-1-2}=-{2\over3}$

Como ${v_2\over v_1}={2\over5}\not=-{2\over3}$ , o vetor de coordenadas $(5,2)$ não é vetor diretor da reta $DC$ .

Equação vetorial de uma reta

Considera um referencial ortonormado $xOy$ , onde está representada uma reta $r$ . Se $A(a_1,a_2)$ é um ponto da reta e $\overrightarrow{v}(v_1,v_2)$ é um vetor diretor da reta, qualquer ponto $P$ da reta $r$ pode ser escrito na forma

$A+\lambda\overrightarrow{v}, \ \ \ \text{com}\ \lambda\isin\reals$

Assim, a equação vetorial da reta $\bm{r}$ é:

$\boxed{P=A+\lambda\overrightarrow{v}\ \Harr\ (x,y)=(a_1,a_2)+\lambda(v_1,v_2), \ \lambda\isin\reals}$

Exemplo

Qual é a equação vetorial da reta $CD$ ?

Matemática A; Vetores no plano; 10º Ano; Equação vetorial de uma reta e vetor diretor

O declive da reta $CD$ é:

$m={-2-1\over3-1}=-{3\over2}$ 

Se $\overrightarrow{v}(v_1,v_2)$ for um vetor diretor da reta, as coordenadas têm que satisfazer a seguinte equação:

${v_2\over v_1}=-{3\over2}$ 

Como $C(1,1)$ pertence à reta $CD$ e o vetor $\overrightarrow{v}(-2,3)$ , por exemplo, é um vetor diretor da reta, a equação vetorial da reta é:

$P=C+\lambda\overrightarrow{v}\ \Harr\ (x,y)=(1,1)+\lambda(-2,3), \ \lambda\isin\reals$