Somar e subtrair vetores: Cálculo e propriedades

Soma de um ponto com um vetor

A soma de um ponto $A$ a um vetor $\overrightarrow{AB}$ origina um ponto $B$ , ou seja, $A+\overrightarrow{AB}=B$ .

Procedimento

1.	Coincidir o início do vetor $\overrightarrow{AB}$ com o ponto $A$
2.	Representar o ponto que corresponde ao fim do vetor $\overrightarrow{AB}$

Exemplo

Representa as seguintes somas:

$P+\overrightarrow{PR}$
$Q+\overrightarrow{QR}$

Matemática A; Vetores no plano; 10º Ano; Somar e subtrair vetores: Cálculo e propriedades

Seguindo o procedimento, vês que $P+\overrightarrow{PR}=R$ e $Q+\overrightarrow{QR}=R$

Soma de dois vetores

A soma de um vetor $\overrightarrow{v}$ com um vetor $\overrightarrow{q}$ origina um vetor $\overrightarrow{t}$ , ou seja, $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{q}=\overrightarrow{t}$ .

Geralmente, para efetuar essa soma, recorre-se à regra do triângulo.

Procedimento

1.	Representar o vetor $\overrightarrow{v}$
2.	Representar o vetor $\overrightarrow{q}$ de forma a que a sua origem coincida com a extremidade do vetor $\overrightarrow{v}$
3.	Traçar o vetor que tem origem na origem do vetor $\overrightarrow{v}$ e extremidade no vetor $\overrightarrow{q}$

Exemplo

Representa a seguinte soma: $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ 

Matemática A; Vetores no plano; 10º Ano; Somar e subtrair vetores: Cálculo e propriedades

Desenha o vetor $\overrightarrow{PQ}$ ;
Desenha o vetor $\overrightarrow{QR}$ na extremidade do vetor $\overrightarrow{PQ}$ ;
Traça o vetor de origem em $P$  e extremidade em $R$ .

Assim, vês que:

 $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$ 

Subtração de dois vetores

A subtração de um vetor $\overrightarrow{v}$ por um vetor $\overrightarrow{q}$ origina um vetor $\overrightarrow{s}$ , ou seja, ${\overrightarrow{v}-\overrightarrow{q}=\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{q})=\overrightarrow{s}}$ .

A representação da subtração de vetores é igual à da representação da adição.

Nota: $-\overrightarrow{q}$ é o vetor simétrico de $\overrightarrow{q}$ , ou seja, tem o mesmo comprimento, a mesma direção, mas sentidos opostos.

Exemplo

Tendo em conta a figura de cima, $\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PQ}+(-\overrightarrow{QR})=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{RQ}$

Propriedades da adição e subtração de vetores

Propriedade comutativa	$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{t}=\overrightarrow{t}+\overrightarrow{v}$ $\overrightarrow{v}-\overrightarrow{t}=\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{t})=(-\overrightarrow{t})+\overrightarrow{v}$
Propriedade associativa	$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{t}+\overrightarrow{s}=(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{s})+\overrightarrow{t}=(\overrightarrow{t}+\overrightarrow{s})+\overrightarrow{v}$
Existência de elemento neutro	$\overrightarrow{v}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{0}=\overrightarrow{v}$ O vetor nulo é o elemento neutro.
Existência de elemento simétrico	$\overrightarrow{v}+(-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$