Distância entre pontos no espaço e plano mediador

Explicação

Da mesma forma que se localizam pontos no referencial o.n. através das suas coordenadas, também se pode medir a distância entre eles, encontrando assim a medida de um segmento de reta definido por dois pontos. 

Distância entre dois pontos 

Qualquer segmento de reta pode ser inserido dentro de um paralelepípedo.

Exemplo

Para se saber a distância entre o ponto $$A$$​ e o ponto $$H$$​ usa-se o teorema de Pitágoras: $$\overline{AC}^2=\overline{AB}^2+\overline{BC}^2$$ dará a medida do cateto $$[AC]$$, que por sua vez é usada para encontrar $$\overline{AH}$$​, dado que $$\overline{AH}^2=\overline{AC}^2+\overline{CH}^2$$.

Assim, $$\overline{AH}=\sqrt{(\overline{AB}+\overline{BC})^2+\overline{CH}}^2$$​​

Pode-se usar o mesmo raciocínio para encontrar a medida de segmentos de reta no referencial o.n.

Equação da distância entre dois pontos no referencial ortonormado

A equação que dá a distância entre dois pontos $$P$$ e $$Q$$ será:

$$d(P{,}Q)={\sqrt{(q_1-p_1)^2+(q_2-p_2)^2+(q_3-p_3)^2}}$$

Exemplo

Considerando que $$A(5{,}2{,}4)$$​, $$B(1{,}12{,}8)$$, $$C( 5{,}12{,}4)$$​ e $$D(1{,}12{,}4)$$.

Representa-se a distância entre os pontos $$A$$ e $$B$$ como $$d(A{,}B)$$ e pode-se proceder da seguinte forma:

$$d(A{,}B)={\sqrt{(12-2)^2+(1-5)^2+(8-4)^2}}={\sqrt{10^2+(-4)^2+4^2}}={\sqrt{100+16+16}=\sqrt{132}}$$ 

Assim, a distância entre os pontos $$A$$ e $$B$$ é igual a $$\sqrt{132}$$ ou, aproximadamente, $$11{,}5$$.

​

Equação cartesiana do plano mediador

Relembrando que um plano mediador de um segmento de reta $$[AB]$$ é um plano composto por todos os pontos que estão a igual distância de $$A$$ e $$B$$, pode-se considerar que, no referencial o.n., um ponto $$Q$$​ pertence ao plano mediador do segmento de reta $$[AB]$$ se e só se $$d(A{,}Q)=d(B{,}Q)$$.

Assim, uma equação cartesiana do plano mediador de $$[AB]$$ é:​

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​$${(x-a_1)^2+(y-a_2)^2+(z-a_3)^2}={(x-b_1)^2+(y-b_2)^2+(z-b_3)^2}$$​​

Exemplo

Tendo dois pontos $$A(5{,}2{,}4)$$ e $$B(1{,}12{,}8)$$, a equação cartesiana do plano mediador do segmento $$[AB]$$ será:

​$${{(x-5)^2+(y-2)^2+(z-4)^2}={(x-1)^2+(y-12)^2+(z-8)^2}}$$