Regiões do plano e inequação reduzida do círculo

Semiplanos

Um semiplano é uma região de um plano delimitada por uma reta contida nesse plano. Um semiplano pode ser aberto, quando não contém a reta que o delimita, ou fechado, quando contém a reta que o delimita.

Exemplo

Considerando uma reta $r$ definida pela equação $x=3$ num referencial o.n., todos os pontos com abcissa superior a $3$ compõem o semiplano aberto à direita de $r$ , que é definido pela inequação $x>3$ . Todos os pontos com abcissa inferior a $3$ compõem o semiplano aberto à esquerda de $r$ , que é definido pela inequação $x<3$ .

Matemática A; Geometria analítica no plano; 10º Ano; Regiões do plano e inequação reduzida do círculo

Em contrapartida, os semiplanos fechados definidos pela reta $r$ são definidos pela inequações $x\geq3$ e $x\leq3$

Caracterização de semiplanos

Um semiplano pode ser caracterizado por uma equação cartesiana da reta e pelas coordenadas de um ponto que o determinem.

Exemplo

Substituindo $x$ na equação da reta pelo ponto de abcissa $5$ fica-se com:

$y=-3\times5+4\Leftrightarrow y=-15+4\Leftrightarrow y=-11$

Dado que a ordenada do ponto $P$ é superior à ordenada da reta que tem a mesma abcissa que $P$ , conclui-se que o semiplano definido é o semiplano superior.

Assim, trata-se do semiplano definido pela inequação $y\geq-3x+4$ .

Matemática A; Geometria analítica no plano; 10º Ano; Regiões do plano e inequação reduzida do círculo

Círculos

Um ponto $P(x,y)$ faz parte de um círculo se obedecer à inequação

${(x-c_1)}^2+{(y-c_2)}^2\leq r^2$

, sendo $r$ o raio e $C(c_1,c_2)$ o centro da circunferência.

Exemplo

Considera, no referencial o.n., uma circunferência de raio $5{,}5$ com centro no ponto de origem e um ponto $P(3{,}2)$ . $P$  faz parte do círculo dentro desta circunferência?

Calcula-se o quadrado da distância do ponto $P$ à origem:

$d_{O,P}^2=(5-0)^2+(-3-0)^2=25+9=24$

De seguida, calcula-se o quadrado do raio do círculo: $5{,}5^2=30{,}25$ .

Como $24\leq30{,}25$ , pode concluir-se que o ponto $P$ pertence ao círculo.

Interseção e reunião de duas regiões no plano

Também se pode representar a interseção e reunião de regiões no plano, considerando todos os pontos que pertencem a ambos, ou a cada um deles.

Exemplo

Considera o conjunto de pontos determinado pela seguinte conjunção de inequações:

$x>-1\land x^2+y^2\leq5$

Matemática A; Geometria analítica no plano; 10º Ano; Regiões do plano e inequação reduzida do círculo

O conjunto de pontos determinado por esta condição é a interseção de um semiplano que inclui todos os pontos de abcissa maior a $-1$ com um círculo de centro na origem e raio igual a $\sqrt{5}$ .