Funções: Classificação e composição

Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas

Função injetiva

Uma função diz-se injetiva se objetos diferentes tiverem sempre imagens diferentes.

Em linguagem matemática, uma função $f\colon A \to B$ , é injetiva se, para cada ${x_1,x_2\in A}$ tal que ${f(x_1)=f(x_2)}$ , tem-se que ${x_1=x_2}$ .

Função sobrejetiva

Uma função diz-se sobrejetiva se o contradomínio coincidir com o conjunto de chegada.

Função bijetiva

Uma função diz-se bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

Exemplo

Os pais do Miguel Ferreira querem afixar na porta do quarto de cada um dos filhos uma placa com o seu nome. A empresa que produz estas placas permite nomes com 3 a 6 letras.

Nome	Nº de letras
Miguel	6
Joana	5
Ana	3
André	5
Dora	4
Sílvia	6

Podes verificar que alguns dos nomes têm o mesmo número de letras. Isto significa que a função que faz corresponder o nome de cada Ferreira ao seu número de letras não é injetiva.

Para além disso, se considerares como conjunto de chegada o conjunto dos números de letras permitidos pela empresa que produz as placas ( $\{3,4,5,6\}$ ), então a função é sobrejetiva, pois o conjunto dos números de letras dos nomes dos irmãos ( $\{3,4,5,6\}$ ) e o conjunto de chegada são coincidentes.

Por fim, conclui-se que a função não é bijetiva, pois não é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

Por outro lado, se quisesses analisar a função que faz corresponder o nome de cada rapariga da família Ferreira ao seu número de letras, poderias concluir que essa função seria injetiva e sobrejetiva, e portanto bijetiva.

Composição de funções

Dadas funções $f$ e $g$ , a função composta de $g$ com $f$ , representada por $g \circ f$ , é uma função na qual as imagens de $f$ são os objetos de $g$ .

Mais concretamente, para cada objeto $x$ tem-se $(g \circ f)(x) = g[f(x)]$ . É então necessário que $x$ pertença ao domínio de $f$ e $f(x)$ pertença ao domínio de $g$ .

Matemática A; Generalidades sobre funções; 10º Ano; Funções: Classificação e composição

Função identidade

Uma função em que o conjunto de chegada é igual ao domínio, e em que a imagem de cada objeto é o próprio objeto, chamamos de função identidade.

Se o domínio for o conjunto $A$ , então a função identidade em $A$ pode ser representada por $Id_A:A\rightarrow A$ , e tem expressão analítica $Id_A(x)=x$ .

Matemática A; Generalidades sobre funções; 10º Ano; Funções: Classificação e composição

Nota: Se a imagem de cada objeto é o próprio objeto, então objetos diferentes têm imagens diferentes e o conjunto de chegada é igual ao domínio. Então conclui-se que a função identidade é bijetiva.

Função inversa

Se uma função $f:A\to B$ for bijetiva, pode definir-se uma função inversa dessa função, $f^{-1}:B\to A$ , tal que as imagens de $f$ são os objetos de $f^{-1}$ , e vice versa.

Matemática A; Generalidades sobre funções; 10º Ano; Funções: Classificação e composição

Se a função $f$ é bijetiva, então $f^{-1}$ também será bijetiva e tem-se que $(f^{-1})^{-1}=f$ . Adicionalmente, tem-se que $f^{-1}\circ f =Id_A$ e $f\circ f^{-1}=Id_B$ .

Exemplo

Quando um aluno se inscreve numa certa faculdade, é-lhe atribuído um número de aluno único, diferente para cada aluno. Depois, para atribuir a classificação a um aluno, os professores pesquisam pelo número de aluno, que os leva ao nome e pauta desse aluno.

Sejam $A=\{\text{João},\text{Maria},\text{Rita}\}$ e $B=\{001,002,003\}$ , e $f$ definida pela tabela abaixo.

Nome	Nº de aluno
Maria	001
João	002
Rita	003

Se tens $f:A\to B$ como a função que a cada nome do aluno faz corresponder o seu número, então a função inversa $f^{-1}:B\to A$ é a função que faz corresponder a cada número de aluno o sei nome.

f(\text{Maria})=001 \iff f^{-1}(001)=\text{Maria}

Já a inversa da função $f^{-1}$ será novamente a função que a cada aluno faz corresponder o seu número de aluno, portanto $(f^{-1})^{-1}=f$ .

f^{-1}(002)=\text{João} \iff (f^{-1})^{-1}(\text{João})=002 =f(\text{João})

Consegues também ver facilmente que $f^{-1}\circ f=Id_A$ e $f\circ f^{-1}=Id_B$ . Por exemplo,

$(f\circ f^{-1})(\text{003})=f[f^{-1}(003)]=f(\text{Rita})=003$

$(f^{-1}\circ f)(\text{João})=f^{-1}[f(\text{João})]=f^{-1}(002)=\text{João}$