Funções reais de variável real: Conceito, gráfico e paridade

Definição

Uma função real de variável real é uma função cujo domínio e conjunto de chegada estão contidos em $\R$ .

Domínio e conjunto de chegada

Numa função real de variável real, o domínio e o conjunto de chegada são sempre $\R$ , excepto nalguns casos:

Expressões que envolvem divisões

Em $\R$ não se pode dividir por $0$ . Portanto, se uma função envolver uma divisão, devem excluir-se do domínio todos os números que resultem numa divisão por $0$ .

Exemplo

Qual é o domínio da função definida pela expressão $\frac{5x-2}{3x+1}$ ?

Deves excluir todos os valores de $x$ para os quais o denominador é $0$ :

$3x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}$

Então, o domínio da função é $\R \setminus \left\{ - \frac{1}{3} \right\}$ .

Expressões que envolvem radicais

Nos radicais de índice par, o radicando não pode ser um número negativo.

Nota: Quando um radical tem índice ímpar, o seu radicando pode ser negativo, ou qualquer número real, por isso o domínio não é afetado!

Exemplo

O domínio da função definida pela expressão $\sqrt{x}$ é $[0,+\infin[$ . Qual é o domínio da função definida pela expressão $\sqrt[4]{x-3}$ ?

Como o radical tem índice par, deves excluir todos os valores de $x$ que resultem num radicando negativo:

$x-3\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 3$

Então, o domínio da função é $[3,+\infin[$ .

Gráfico cartesiano

Dá-se o nome de gráfico de uma função $f:A\to B$ ao conjunto $G\subset A \times B$ dos pares ordenados $(a,f(a))$ , com $a$ pertencente a $A$ . No caso de uma função real de variável real, é possível representar os pares ordenados num plano munido de um referencial cartesiano, tratando-se portanto de um gráfico cartesiano.

Exemplo

Seja $f: \R \to \R$  a função definida por $f(x)=5x$ . O seu gráfico é o conjunto $\{(x,y)\in \R^2 : y=5x\}$ e o seu gráfico cartesiano é a reta da figura:

Matemática A; Generalidades sobre funções; 10º Ano; Funções reais de variável real: Conceito, gráfico e paridade

Nota 1: Para se tratar de uma função, cada objeto tem de ter uma e só uma imagem. Se conseguires traçar uma reta vertical sobre o gráfico da função que o intersete em mais de um ponto, então não é função.

Nota 2: Para uma função ser injetiva, objetos diferentes não podem ter a mesma imagem. Se conseguires traçar uma reta horizontal sobre o seu gráfico que o intersete em mais de um ponto, então não é injetiva.

Funções pares e funções ímpares

Funções pares

Uma função $f$ diz-se par se $f(-x)=f(x)$ para qualquer $x\in D_f$ tal que $(-x)\in D_f$ . Isto significa que o seu gráfico vai ser simétrico relativamente ao eixo das ordenadas.

Exemplo

Considera a função $g$ , definida em $\R$ , por $g(x)=2x^2$ . Nesta função, qualquer que seja $x$ este vai ter a mesma imagem que o seu simétrico, $-x$ :

$g(-x)=2(-x)^2=2x^2=g(x)$ 

Matemática A; Generalidades sobre funções; 10º Ano; Funções reais de variável real: Conceito, gráfico e paridade

Verifica-se que a função é par e que o seu gráfico é simétrico relativamente ao eixo das ordenadas.

Funções ímpares

Uma função diz-se ímpar se para todo o $x$ pertencente ao domínio, $-x$ também pertence ao domínio e se têm imagens simétricas $f(-x)=-f(x)$ . Isto significa que o seu gráfico vai ser simétrico em relação à origem.

Exemplo

Considera a função $f$ , definida em $\R$ , por $f(x)=x^3$ . Nesta função, qualquer que seja $x$ , a sua imagem vai ser simétrica à do seu simétrico, $-x$ . De facto,

$f(-x)=(-x)^3=(-1)^3x^3=-x^3=-f(x)$

Matemática A; Generalidades sobre funções; 10º Ano; Funções reais de variável real: Conceito, gráfico e paridade

Verifica-se então que a função é ímpar e que o seu gráfico é simétrico relativamente à origem.