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Matemática A

Lógica e teoria dos conjuntos

Propriedades da implicação e da equivalência

Propriedades da implicação e da equivalência

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Docente: Pedro

Resumo

Propriedades da implicação e da equivalência

Equivalência

Duas proposições são equivalentes se e só se tiverem o mesmo valor lógico.


Exemplo

As proposições "Janeiro é um mês com 3131 dias" e "Lisboa é a capital de Portugal" são equivalentes porque são ambas verdadeiras, apesar de não existir qualquer relação de causalidade entre estes factos.


Propriedades da implicação e da equivalência

As seguintes propriedades, que podem ser facilmente provadas com recurso a uma tabela de verdade, permitem simplificar proposições lógicas.


Negação da implicação
(p    q)(pq){\sim (p \implies q) \Leftrightarrow (p \wedge \sim q)}​​
Implicação como disjunção
(p q)(pq)(p \implies q) \Leftrightarrow (\sim p \lor q)​​
Lei de conversão/implicação contrarrecíproca
(p q)(q p)(p \implies q) \Leftrightarrow (\sim q \implies \sim p)​​
Transitividade da implicação
[(p    q)(q    r)]    (p    r){[(p \implies q) \wedge (q \implies r)] \implies (p \implies r)}​​
Equivalência como dupla implicação
(pq)[(p q)(q p)](p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow [(p \implies q)\wedge(q \implies p)]​​
Negação da equivalência
(pq)[(pq)(qp)]\sim (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow [(p \wedge \sim q) \lor (q \wedge \sim p)]​​
Transitividade da equivalência
[(pq)(qr)] (pr)[(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r)] \implies (p \Leftrightarrow r)​​


Exemplo

A implicação contrarrecíproca é um conceito com que lidamos naturalmente no nosso quotidiano.

De facto, considera a frase "Se fizer bom tempo, vou à praia". Nada é dito acerca do que será feito caso não faça bom tempo. A única conclusão que se pode retirar caso o sujeito não vá à praia é que certamente não fez bom tempo (porque caso tivesse feito, ele iria à praia).


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FAQs - Perguntas Frequentes

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O que é uma equivalência?

Para que servem as propriedades das operações lógicas entre proposições?