Propriedades da implicação e da equivalência

Equivalência

Duas proposições são equivalentes se e só se tiverem o mesmo valor lógico.

Exemplo

As proposições "Janeiro é um mês com $31$ dias" e "Lisboa é a capital de Portugal" são equivalentes porque são ambas verdadeiras, apesar de não existir qualquer relação de causalidade entre estes factos.

Propriedades da implicação e da equivalência

As seguintes propriedades, que podem ser facilmente provadas com recurso a uma tabela de verdade, permitem simplificar proposições lógicas.

Negação da implicação	${\sim (p \implies q) \Leftrightarrow (p \wedge \sim q)}$
Implicação como disjunção	$(p \implies q) \Leftrightarrow (\sim p \lor q)$
Lei de conversão/implicação contrarrecíproca	$(p \implies q) \Leftrightarrow (\sim q \implies \sim p)$
Transitividade da implicação	${[(p \implies q) \wedge (q \implies r)] \implies (p \implies r)}$
Equivalência como dupla implicação	$(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow [(p \implies q)\wedge(q \implies p)]$
Negação da equivalência	$\sim (p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow [(p \wedge \sim q) \lor (q \wedge \sim p)]$
Transitividade da equivalência	$[(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r)] \implies (p \Leftrightarrow r)$

Exemplo

A implicação contrarrecíproca é um conceito com que lidamos naturalmente no nosso quotidiano.

De facto, considera a frase "Se fizer bom tempo, vou à praia". Nada é dito acerca do que será feito caso não faça bom tempo. A única conclusão que se pode retirar caso o sujeito não vá à praia é que certamente não fez bom tempo (porque caso tivesse feito, ele iria à praia).