Primeiras leis de De Morgan

Negação da conjunção

Dadas duas proposições $p$​ e $q$, a negação da sua conjunção é equivalente à disjunção das suas negações. Então, tem-se que:

​$[\mathord\sim(p\land q)] \Leftrightarrow (\mathord\sim p\lor \mathord\sim q)$

Exemplo

Considera as proposições:

• $p:$ "$\text{Vais comer peixe}$​"
• $q:$ "$\text{Vais comer carne}$​"

Então a conjunção $p\land q$ pode ser escrita como "$\text{Vais comer peixe e carne}$" e a sua negação, $\mathord\sim( p \land q)$, como "$\text{Não vais comer peixe e carne}$". Isto é o mesmo que dizer "$\text{Não vais comer peixe ou não vais comer carne}$", que pode ser escrito como $\mathord\sim p \lor \mathord\sim q$.

Assim, tem-se que:

​$\mathord\sim( p \land q) \Leftrightarrow \mathord\sim p \lor \mathord\sim q$

ou

"$\text{Não vais comer peixe e carne}$" $\Leftrightarrow$​ "$\text{Não vais comer peixe ou não vais comer carne}$​"

Negação da disjunção

Dadas duas proposições $p$​ e $q$, a negação da sua disjunção é equivalente à conjunção das suas negações. Então, tem-se que:

​$[\mathord\sim(p\lor q)] \Leftrightarrow (\mathord\sim p\land \mathord\sim q)$

Exemplo

Considera as proposições do exemplo anterior.

Se afirmares "$\text{Vais comer peixe ou carne}$", isto é, $p\lor q$, mas a tua mãe negar isso e disser "$\text{Não vais comer peixe ou carne}$", isto é, $\mathord\sim(p \lor q)$, então isso é o mesmo que dizer "$\text{Não vais comer peixe e não vais comer carne}$", que pode ser escrito como $\mathord\sim p \land \mathord\sim q$.

Então:

​$\mathord\sim( p \lor q) \Leftrightarrow \mathord\sim p \land \mathord\sim q$

ou

"$\text{Não vais comer peixe ou carne}$" $\Leftrightarrow$​ "$\text{Não vais comer peixe e não vais comer carne}$​"