Propriedades da negação, conjunção e disjunção Explicação Dadas proposições p p p q q q r r r v v v f f f
Propriedade Expressão Lei da dupla negação
∼ ( ∼ p ) ⇔ p \mathord\sim(\mathord\sim p)\Leftrightarrow p ∼ ( ∼ p ) ⇔ p
Idempotência da conjunção e da disjunção
p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p p \wedge p \Leftrightarrow p\\p \lor p \Leftrightarrow p p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p
Comutatividade da conjunção e da disjunção
( p ∧ q ) ⇔ ( q ∧ p ) ( p ∨ q ) ⇔ ( q ∨ p ) (p\land q)\Leftrightarrow(q\land p)\\(p\lor q)\Leftrightarrow(q\lor p) ( p ∧ q ) ⇔ ( q ∧ p ) ( p ∨ q ) ⇔ ( q ∨ p )
Associatividade da conjunção e da disjunção
[ ( p ∧ q ) ∧ r ] ⇔ [ p ∧ ( q ∧ r ) ] [ ( p ∨ q ) ∨ r ] ⇔ [ p ∨ ( q ∨ r ) ] {[(p\land q) \land r] \Leftrightarrow [p\land (q \land r)]}\\{[(p\lor q) \lor r] \Leftrightarrow [p\lor (q \lor r)] } [( p ∧ q ) ∧ r ] ⇔ [ p ∧ ( q ∧ r )] [( p ∨ q ) ∨ r ] ⇔ [ p ∨ ( q ∨ r )]
Conjunção de uma proposição verdadeira com outra proposição
v ∧ p ⇔ p v \land p \Leftrightarrow p v ∧ p ⇔ p
Conjunção de uma proposição falsa com outra proposição
f ∧ p ⇔ f f \land p \Leftrightarrow f f ∧ p ⇔ f
Disjunção de uma proposição verdadeira com outra proposição
v ∨ p ⇔ v v \lor p \Leftrightarrow v v ∨ p ⇔ v
Disjunção de uma proposição falsa com outra proposição
f ∨ p ⇔ p f \lor p \Leftrightarrow p f ∨ p ⇔ p
Propriedades distributivas
[ p ∧ ( q ∨ r ) ] ⇔ [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) ] [ p ∨ ( q ∧ r ) ] ⇔ [ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) ] {[p \land (q \lor r)] \Leftrightarrow [(p \land q) \lor (p \land r)] }\\{[p \lor (q \land r)] \Leftrightarrow [(p \lor q) \land (p \lor r)]} [ p ∧ ( q ∨ r )] ⇔ [( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )] [ p ∨ ( q ∧ r )] ⇔ [( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )]
Tradução simbólica do princípio da não contradição
( p ∧ ∼ p ) ⇔ f {(p \land \mathord\sim p) \Leftrightarrow f} ( p ∧ ∼ p ) ⇔ f
Princípio do terceiro excluído
( p ∨ ∼ p ) ⇔ v (p \lor \mathord\sim p) \Leftrightarrow v ( p ∨ ∼ p ) ⇔ v
Exemplo Aplicando as propriedades acima apresentadas, prova que a expressão [ ( ∼ p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ] ∧ ( ∼ q ∧ p ) [(\mathord\sim p \land q)\lor (\mathord\sim p \land \mathord\sim q)] \land (\mathord\sim q \land p) [( ∼ p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q )] ∧ ( ∼ q ∧ p )
[ ( ∼ p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ] ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Distributividade ‾ ⇔ [ ∼ p ∧ ( q ∨ ∼ q ) ] ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Princ ı ˊ pio do terceiro exclu ı ˊ do ‾ ⇔ ( ∼ p ∧ v ) ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Conjunç a ˜ o de um proposiç a ˜ o verdadeira com outra proposiç a ˜ o ‾ ⇔ ∼ p ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Comutatividade ‾ ⇔ ∼ p ∧ ( p ∧ ∼ q ) ⇔ ↓ Associatividade ‾ ⇔ ( ∼ p ∧ p ) ∧ ∼ q ⇔ ↓ Princ ı ˊ pio da n a ˜ o contradiç a ˜ o ‾ ⇔ f ∧ ∼ q ⇔ ↓ Conjunç a ˜ o de um proposiç a ˜ o falsa com outra proposiç a ˜ o ‾ ⇔ f \begin{aligned}&[(\mathord\sim p \land q)\lor (\mathord\sim p \land \mathord\sim q)] \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Distributividade}}\\\Leftrightarrow\,\,& [\mathord\sim p \land (q\lor \mathord\sim q) ] \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Princípio do terceiro excluído}}\\\Leftrightarrow\,\,& (\mathord\sim p \land v) \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Conjunção de um proposição verdadeira com outra proposição}}\\\Leftrightarrow\,\,& \mathord\sim p \land (\mathord\sim q \land p) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Comutatividade}}\\\Leftrightarrow\,\,& \mathord\sim p \land (p \land \mathord\sim q) \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Associatividade}}\\\Leftrightarrow\,\,& (\mathord\sim p \land p) \land \mathord\sim q \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Princípio da não contradição}}\\\Leftrightarrow\,\,& f \land \mathord\sim q \Leftrightarrow\quad \downarrow\text{\underline{Conjunção de um proposição falsa com outra proposição}}\\\Leftrightarrow\,\,&f\end{aligned} ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ [( ∼ p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q )] ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Distributividade [ ∼ p ∧ ( q ∨ ∼ q )] ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Princ ı ˊ pio do terceiro exclu ı ˊ do ( ∼ p ∧ v ) ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Conjunç a ˜ o de um proposiç a ˜ o verdadeira com outra proposiç a ˜ o ∼ p ∧ ( ∼ q ∧ p ) ⇔ ↓ Comutatividade ∼ p ∧ ( p ∧ ∼ q ) ⇔ ↓ Associatividade ( ∼ p ∧ p ) ∧ ∼ q ⇔ ↓ Princ ı ˊ pio da n a ˜ o contradiç a ˜ o f ∧ ∼ q ⇔ ↓ Conjunç a ˜ o de um proposiç a ˜ o falsa com outra proposiç a ˜ o f
Se a expressão inicial é equivalente a uma proposição falsa, então é falsa.
