Equivalência, negação, conjunção e disjunção de proposições

Explicação

Uma proposição pode ser elementar ou composta. As proposições compostas incluem várias proposições elementares, que se relacionam através de diversas operações. Consegues saber o valor lógico de uma proposição composta se souberes o valor lógico de todas proposições elementares que a constituem.

Equivalência

Dadas proposições $$p$$ e $$q$$, a equivalência de $$p$$ e $$q$$ (ou, simbolicamente, $$p \Leftrightarrow q$$), é verdadeira se ambas as proposições tiverem o mesmo valor lógico, e falsa se tiverem valores lógicos diferentes.

A tabela de verdade da equivalência, que relaciona os valores lógicos de $$p$$​ e $$q$$ com o valor lógico da proposição $$p \Leftrightarrow q$$, é então:

Habitualmente, quando se diz que duas proposições são equivalentes, assume-se que têm o mesmo valor lógico (casos em que $$p \Leftrightarrow q$$​ tem valor lógico $$V$$​). Também é frequente relacionar mais do que duas proposições desta forma.

Exemplo

Dadas as proposições "$$1+1=3$$" e "$$\text{Lisboa é um país}$$​", pode-se construir a proposição "$$1+1=3 \Leftrightarrow \text{Lisboa é um país}$$ ". Como ambas as proposições originais são falsas, então a equivalência entre elas é verdadeira. Se a segunda proposição fosse "$$\text{Lisboa é uma cidade}$$", que é uma proposição verdadeira, então a equivalência seria falsa.

Negação

Dada uma proposição $$p$$​, a negação de $$p$$ (ou, simbolicamente, $$\mathord\sim{p}$$), representa uma proposição com o valor lógico oposto da proposição $$p$$. Esta proposição lê-se "não $$p$$".

A tabela de verdade da negação é:

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Exemplo

Dada a proposição "$$\text{Lisboa é um país}$$", que é falsa, a negação desta proposição é "$$\text{Lisboa não é um país}$$", que é verdadeira.

Conjunção

Dadas as proposições $$p$$​ e $$q$$​, a conjunção de $$p$$​ e $$q$$, ou $$p \land q$$, é verdadeira apenas se ambas as proposições forem verdadeiras. A conjunção lê-se "$$p$$​ e $$q$$".

A tabela de verdade da conjunção é:

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Exemplo

Dadas as proposições "$$1+1=2$$" e "$$\sqrt{4}=2$$​", então a proposição "$$1+1=2 \land \sqrt{4}=2$$" é verdadeira. Se a primeira proposição fosse "$$1+1=3$$", então a conjunção seria falsa.

Disjunção

Dadas as proposições $$p$$​ e $$q$$, a disjunção de $$p$$​ e $$q$$, ou $$p \lor q$$, é falsa apenas se ambas as proposições forem falsas. Lê-se "$$p$$​ ou $$q$$​".

A tabela de verdade da disjunção é:

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Exemplo

Dadas as proposições "$$1+1=2$$" e "$$\sqrt{4}=3$$​", então a proposição "$$1+1=2 \lor \sqrt{4}=3$$" é verdadeira. Se a primeira proposição fosse "$$1+1=3$$", então a disjunção seria falsa.

Nota: Numa proposição composta por disjunções, conjunções e negações, não há prioridade entre as conjunções e disjunções, mas as negações têm prioridade. Então, a proposição $$\mathord\sim p\lor q$$, deve ser entendida por $$(\mathord\sim p)\lor q$$.