Spin ed esperimento di Stern e Gerlach

Spin

Definiamo lo spin come una particolare quantizzazione delle particelle cariche elettricamente (elettroni, protoni,..). Il termine inglese spin significa letteralmente "ruotare su se stessi", quindi lo spin è una specie di momento angolare, viene anche definito momento angolare intrinseco. Per la fisica classica una particella dotata di spin che attraversa un campo magnetico non uniforme e perpendicolare al moto della particella subisce una deviazione casuale, in base al suo valore di spin casuale.

Esperimento di Stern e Gerlach

Questa concezione della fisica classica venne smentita dall'esperimento di Stern e Gerlach. I due fisici fisici volevano quindi misurare il momento angolare di alcuni atomi di argento ( $Ag$ ) lungo l'asse $z$ (operatore di spin $s_z$ ). Secondo la fisica questi atomi, inseriti in un campo magnetico non uniforme, risentiranno di una forza $F_z \propto s_z$ .

Presero un forno, dove vi scaldarono alcuni atomi di argento. Dal forno usciva un fascio di atomi, il quale veniva indirizzato, tramite un collimatore, verso alcuni magneti. Questi magneti formavano un campo magnetico non uniforme e lungo l'asse $z$ veniva, quindi, generata una forza che cambiava traiettoria a tutti gli atomi del fascio. I fisici posero infine uno schermo rilevatore ad una certa distanza, per ottenere i risultati.

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Secondo la fisica classica il fascio si sarebbe dovuto aprire a ventaglio, a causa dell'orientamento casuale dello spin dei singoli atomi. Stern e Gerlach notarono però che il fascio di atomi si divise completamente in due, infatti metà delle particelle si trovavano in un punto in "alto" e metà in "basso" rispetto al fascio iniziale. Lo spin di un atomo di argento è quindi quantizzato: può assumere solo due valori, una nella direzione del campo esterno ed una opposta.

Lo spin è quindi una grandezza quantizzata, impossibile da spiegare secondo le leggi della fisica classica.

Alla base ci sono quindi queste proprietà:

tutte le particelle dello stesso tipo hanno lo stesso valore di spin;
quando si misura lo spin di una particella, misurato lungo un qualsiasi asse, l'insieme dei risultati è quantizzato.

I due fisici notarono inoltre come il valore dello spin delle particelle elementari fosse legato alla costante di Planck, infatti il valore dello spin degli atomi di argento è uguale a $\pm \hbar/2$ , con $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$ chiamata costante di Planck ridotta. Anche gli elettroni hanno lo stesso valore di spin, ovvero $\pm \hbar/2$ . La differenza tra i due stati di spin è quindi $+\hbar/2 -\hbar/2 = \hbar$ . Questa regola vale per tutte le particelle dotate di spin, infatti prendendo una particella con spin $\hbar$ può avere tre valori di spin: $\hbar$ ; $\hbar-\hbar = 0$ e $0-\hbar = -\hbar$ . Utilizzando questa particella nell'esperimento di Stern e Gerlach si ottengono tre fasci distinti (aumentando lo spin di $1/2$ aumenterà di uno il numero di fasci ottenuti).

Possiamo anche indicare lo spin delle particelle elementari senza la costante di Planck ridotta, ovvero lo spin dell'elettrone sarà: $+1/2$ "su" e $-1/2$ "giù".

E' importante notare come il valore dello spin sia legato alla sua proiezione su un asse, diciamo infatti, nell'esperimento di Stern e Gerlach, che lo spin lungo l'asse $z$ è $+1/2$ .

La quantizzazione e la probabilità

Ora facciamo un esperimento: calcoliamo la proiezione dello spin di un elettrone lungo l'asse $y$ , si ottiene il valore $s_y = +1/2$ ; successivamente calcoliamo la proiezione dello spin lungo l'asse $x$ , ottenendo il valore $s_x = +1/2$ . Prendiamo ora in considerazione un terzo asse $w$ che avrà angolo di $45\degree$ rispetto agli assi $x$ ed $y$ . Usando il teorema di Pitagora, il valore ottenuto dalla proiezione dello spin sull'asse $w$ sarà: $s_w = s_x\sqrt2 = \sqrt2 /2$ . Questo è impossibile visto che sappiamo che la proiezione dello spin, lungo un qualsiasi asse, su un elettrone vale sempre $\pm1/2$ . Il risultato ci dice che, dopo aver misurato il valore di $s_x$ , l'informazione ottenuta su $s_y$ non è più valida.

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Probabilità

Possiamo dire che il valore che ha $s_y$ dopo la misurazione $s_x$ è incerto, infatti avrà una possibilità di avere ciascuno dei valori assegnati allo spin dell'elettrone in caso di una nuova misurazione. Ripetendo varie volte la misurazione di $s_x$ e $s_y$ troveremo, nella misurazione di $s_y$ , la metà delle volte il valore opposto a quello inziale.

La meccanica quantistica introduce quindi nuove ipotesi:

ogni sistema fisico si trova in uno stato e questo stato ci dice quali grandezze possiamo misurare e quali possiamo solo assumere;
esistono delle grandezze incompatibili, ovvero non possiamo conoscere due grandezze diverse allo stesso momento. Un esempio di grandezze incompatibili sono le proiezioni dello spin lungo un asse. Quando abbiamo una di queste grandezze, allora avremo solo una certa probabilità di assumere i valori delle altre grandezze incompatibili.

La meccanica quantistica è quindi una scienza probabilistica e per studiare le sue grandezze dobbiamo fare uno studio di probabilità.

La probabilità per cui un evento succeda è $P(G,g_i)$ , ovvero la probabilità di ottenere il valore $g_i$ misurando la grandezza $G$ .

Esempio

Data la proiezione dello spin di un elettrone sull'asse $x$ $s_x = -1/2$ , allora la probabilità che venga misurato lo stesso valore lungo un asse inclinato di un angolo $\theta$ rispetto all'asse $x$ è $P(\theta; -1/2) = cos^2(-\theta/2)$ . Ponendo $\theta = 60\degree$ , qual è la probabilità di misurare di nuovo lo spin $-1/2$ ? E la probabilità che si misuri $+1/2$ ?

Procedimento

 $P(60\degree;-1/2) = cos^2(-60\degree/2)=cos^2(-30\degree)=0,75$

La probabilità che si misuri $+1/2$ è $P(60\degree;+1/2)=cos^2(+60/2)=cos^2(30) =0,25$ .

In questo caso si può ottenere anche così:

$P = 1-P(-1/2) 1-0,75 = 0,25$ .

Indeterminazione di Heisenberg

Due grandezze incompatibili possono essere la posizione $x$ e la quantità di moto $p_x$ di una certa particella lungo un suo asse. La meccanica quantistica ci dice quindi che non possiamo calcolare queste due proprietà in maniera certa, ma potremmo calcolarne una sola delle due con una certa precisione. Definiamo $\Delta x$ come l'incertezza del calcolo della posizione e $\Delta p_x$ come l'incertezza del calcolo della quantità di moto, allora questi valori sono legati dal principio di indeterminazione di Heisenberg:

$\Delta x\cdot \Delta p_x \ge \hbar/2$

Esempio

Sappiamo che l'incertezza della misura della posizione vale $\Delta x = 5\cdot 10^{-15}\,m$ , allora quanto vale l'incertezza minima della quantità di moto $\Delta p_x$ ?

procedimento

Applichiamo il principio di indeterminazione di Heisenberg e otteniamo, visto che ci chiede l'incertezza minima:

$\Delta p_x =\dfrac{\hbar}{2\cdot \Delta x} = \dfrac{6,626\cdot 10^{-34}}{2\pi\cdot 2 \cdot 5\cdot10^{-15}} \approx 1,05\cdot10^{-20}\, kg\cdot m/s$ .