Flusso e circuitazione del campo elettrico

Flusso del campo elettrico

Il flusso di un campo elettrico è definito come il flusso del campo elettrico attraverso una superficie. E' definito dal prodotto scalare del campo elettrico per il vettore della superficie:

$\Phi_A(\overrightarrow{E}) = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = E\cdot A\cdot \cos(\theta)$

Definiamo $\overrightarrow{A} = A\overrightarrow{n}$ come il vettore superficie avente modulo $A$ e direzione e verso della normale alla superficie $\overrightarrow{n}$ . Definiamo inoltre $\theta$ come l'angolo tra la normale e il vettore del campo elettrico.

Fisica; I circuiti elettrici; 4a superiore; Flusso e circuitazione del campo elettrico

Teorema di Gauss

Il flusso che passa attraverso una superficie chiusa gode di un'incredibile proprietà, che possiamo dimostrare prendendo in considerazione il flusso attraverso una superficie sferica. L'area della superficie sferica sarà: $A =4\pi\cdot r^2$ e per calcolare l'intero flusso possiamo dividere la superficie sferica in molte piccole parti, approssimativamente piane. Allora il flusso del campo elettrico è dato dalla somma di ogni singola parte. Possiamo inoltre notare come il campo elettrico e la normale alla superficie siano uguali in ogni punto. Otteniamo quindi il flusso:

$\Phi(E) = \Phi_1+\Phi_2+... = E\cdot (A_1+A_2+...) = E\cdot A$

Andando a sostituire l'area ed il campo elettrico troviamo:

$\Phi(E) = E\cdot A = \dfrac{1}{4\pi\cdot \epsilon_0}\cdot \dfrac{Q}{r^2}\cdot 4\pi\cdot r^2 = \dfrac{Q}{\epsilon_0}$

Il teorema di Gauss per il campo elettrico ci dice che il flusso di un campo elettrico in una superficie chiusa è uguale alla carica totale all'interno della superficie divisa per la costante dielettrica nel vuoto. Questo teorema afferma come se la carica è positiva (sorgente) allora il flusso sarà uscente, mentre se è negativa (pozzo) sarà entrante.

La circuitazione del campo elettrico

Campo elettrostatico

Il potenziale tra due punti vicini $A$ e $B$ è il prodotto tra il campo elettrico e la distanza $\Delta s$ tra i due punti:

$\Delta V_{AB} = E\cdot \Delta s$

Se $\overrightarrow{\Delta s}$ ed $\overrightarrow{E}$ vettori non hanno la stessa direzione, allora il potenziale sarà dato dal prodotto scalare dei due vettori:

$V_B-V_A = \Delta V_{AB} = \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{\Delta s}$

Introducendo un percorso chiuso $c$ , la circuitazione del campo elettrico, ovvero la differenza di potenziale all'interno di un percorso chiuso, sarà:

$\Gamma_c(E) = \Delta V_{AB} +\Delta V_{BC} +...+\Delta V_{ZA} = V_B - V_A +V_C-V_B+... +V_A-V_Z$

Tutti i termini si elimineranno a due a due e la circuitazione di un campo elettrico risulta pari a zero:

$\Gamma_c(E) = 0$

I campi vettoriali per cui la circuitazione si annulla sono definiti conservativi.

La forza elettromotrice

Definiamo la forza elettromotrice, oltre alla definizione già data nella lezione precedente, come il rapporto tra il lavoro $W$ che il campo elettrico può compiere per spostare una carica $q$ di un segmento $\Delta s$ :

$f.e.m = \dfrac{W}q$

La forza elettromotrice di un generatore di tensione è la differenza di potenziale ai capi del generatore quando quest'ultimo è staccato.