Forza gravitazionale e campo gravitazionale

Campo gravitazionale

Il campo gravitazionale rappresenta la perturbazione prodotta nello spazio da un corpo, semplicemente perché ha una massa.

Ricorda che: in fisica, un campo è una regione dello spazio in cui a ciascuno dei suoi punti è assegnato un valore che può essere scalare o vettoriale.

I campi gravitazionali sono descritti da due quantità:

• forza del campo gravitazionale $$\overrightarrow g$$: quantità vettoriale;
• potenziale gravitazionale: quantità scalare.

L'intensità del campo gravitazionale in un punto è la forza gravitazionale che agisce sulla massa $$m$$ in quel punto.

$$\overrightarrow g=-\cfrac{Gm}{r^2}\overrightarrow u_r$$

Le caratteristiche di $$\overrightarrow g$$ sono:

• Direzione radiale $$\overrightarrow{u_r}$$;
• Direzione orientata verso la massa che crea il campo, indicata dal segno (-);
• Modulo: $$|\overrightarrow g|=\cfrac{Gm}{r^2}\ \ \rm N/kg^{-1}$$

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Linee del campo gravitazionale

Il campo gravitazionale può essere rappresentato da linee di campo.

Si tratta di linee continue, tangenti in ogni punto alla direzione del vettore campo gravitazionale e in grado di mostrare come l'intensità del campo gravitazionale sia distribuita nello spazio.

Principio di sovrapposizione

Se hai particelle di massa $$n$$ in modo che ognuna di esse crei un campo gravitazionale in un punto.

Se una particella di massa $$m_1,m_2,...,m_n$$ si trova in quel punto, la forza gravitazionale totale subita dalla massa $$m´$$ è la somma vettoriale di tutte le forze, e l'intensità del campo gravitazionale è:

$$\overrightarrow F_t=\overrightarrow F_1+ \overrightarrow F_2+...+\overrightarrow F_n=m´\overrightarrow g_1+m´\overrightarrow g_2+....+m´´\overrightarrow g_n=m´\overrightarrow g$$

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Campo gravitazionale terrestre

Il campo gravitazionale sulla superficie terrestre $$\overrightarrow g=\overrightarrow g_1+\overrightarrow g_2+....+\overrightarrow g_n=-G\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \cfrac{m_i}{r_i^2}\overrightarrow u_{ri}$$ è il valore che il vettore forza del campo gravitazionale ha in qualsiasi punto della superficie terrestre.

Esempio

Una massa $$\overrightarrow g=\cfrac{-GM_T}{R_T^2}\overrightarrow u_r\implies g=\cfrac{-GM_t}{R_T^2}=\cfrac{-6,67\cdot 10^{-11}\cdot 5,97\cdot 10^{24}}{6,37\cdot 10^6}=-9,81\ \rm m/s^2$$ è collocata nel punto $$A(2,0)$$ e una massa $$2\ kg$$ è collocata nel punto $$B(-3,0)$$. Calcola l'intensità del campo gravitazionale nell'origine delle coordinate.

Soluzione:

$$\overrightarrow g_1=\cfrac{-Gm_1}{r_1^2}\overrightarrow u_{r_1}=3,335\cdot 10^{-11}\cdot \overrightarrow i\ \ \text{N/kg}\\\quad \\\overrightarrow g_2=\cfrac{-Gm_2}{r_2^2}\overrightarrow u_{r_2}=-2,96\cdot 10^{-11}\cdot \overrightarrow i\ \ \text{N/kg}\\\quad \\\overrightarrow g_T=\overrightarrow g_1+\overrightarrow g_2={3,75\cdot 10^{-12}\ \text{N/kg}}$$

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Il campo gravitazionale come esempio di campo di forza conservativo

Se il lavoro svolto dalle forze per spostare una particella da un punto all'altro dipende solo dai punti di partenza e di arrivo, il campo di forze si dice conservativo.

Il lavoro svolto dalle forze per spostare un corpo da un punto $$A$$ a un altro $$B$$ $$\left(W_{A\to B}\right)$$è la variazione di energia potenziale $$E_p$$ tra questi punti, con segno opposto.

$$W_{A\to B}=-\Delta E_p=E_p(A)-E_p(B)$$

Quindi, poiché il campo gravitazionale è centrale, è conservativo.

Energia potenziale gravitazionale

Il lavoro compiuto da un campo gravitazionale per spostare la massa $$m$$ dall'infinito a $$r_A$$, cambiando segno, è uguale all'energia potenziale gravitazionale che avrebbe un corpo $$m´$$ all'interno di un campo gravitazionale creato da una massa $$m$$ a una distanza $$r_A$$.

$$W_{\infty \to A}=-\Delta E_p=-G\cfrac{mm´}{r_{A}}\\ \quad\\E_p=-G\cfrac{mm´}{r_{A}}$$

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Potenziale gravitazionale

I campi di forza conservativi sono caratterizzati da:

• l'intensità del campo;
• il potenziale, che è una quantità scalare definita in ogni punto.
  

Il potenziale gravitazionale $$V$$ è l'energia potenziale per unità di massa in un punto.

$$V=\cfrac{E_p}{m´}=-G\cfrac{m}{r}$$

I punti del campo gravitazionale in cui il potenziale gravitazionale è lo stesso formano una superficie equipotenziale.

Potenziale gravitazionale della Terra ed energia potenziale

L'energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa $$m$$ a una distanza $$r$$ dal centro della Terra è:

$$E_p=\cfrac{-GmM_t}{r}=\cfrac{-GmM_T}{R_T+h}$$

Per i punti molto vicini alla superficie terrestre $$(h\lt\lt R_T)$$, si può assumere la seguente espressione.

$$E_p=mg_0h$$

Esempio

Una massa $$\it 8\ kg$$ si trova nell'origine; calcola il potenziale gravitazionale nel punto $$\it A(2,1)$$.

Soluzione:

$$\underline{\text{Il potenziale gravitazionale nel punto A è }-2,39\cdot 10^{-10}\ \rm J/kg}$$