Operazioni con vettori

Una delle possibilità più interessanti dei vettori è che si possono eseguire operazioni che hanno un risultato visibile graficamente anche nello spazio attorno a loro.

Le operazioni principali che si possono svolgere tra due o più vettori sono: somma, differenza, moltiplicazione e divisione.

Somma di vettori

Somma di due vettori sulla stessa retta

Il vettore risultante dalla somma di due vettori sulla stessa retta ha la direzione che giace su quella retta, il verso dello spostamento dei due vettori e il modulo che è dato dalla somma algebrica dei moduli dei due vettori.

Esempio

Luca sta tirando la sua auto con una corda. Marco lo vede da lontano e decide di dargli una mano, tirando la corda nella stessa direzione.

Il vettore della forza applicata per muovere l'auto avrà quindi il punto di applicazione nel centro dell'auto, la direzione lungo la retta della corda, il verso rivolto nella direzione in cui Luca e Marco stanno tirando e il modulo uguale alla somma tra le forze applicate da Luca e Marco.

Il metodo punta-coda

Si utilizza per calcolare il risultato di due o più spostamenti tra loro consecutivi, che è un vettore che unisce il primo vettore all'ultimo.

La risultante tra questi spostamenti ha, quindi, lo stesso punto di applicazione del primo vettore, il modulo che è pari al segmento che unisce il punto di applicazione del primo vettore al vertice dell'ultimo e il verso rivolto verso il vertice dell'ultimo vettore.

Esempio

Il calciatore nella figura riceve il passaggio da un suo compagno di squadra (1) e tira subito in porta (2).

La risultante fisica di queste due azioni è un vettore che ha il punto di applicazione nel centro della prima palla (in 1), il modulo pari al segmento che unisce la prima palla al centro della porta, la direzione che giace su quella retta e il verso rivolto verso il centro della porta.

La regola del parallelogramma

Si applica costruendo un parallelogramma che ha per lati due spostamenti consecutivi.

La risultante sarà la diagonale del parallelogramma, avrà come punto di applicazione lo stesso del primo vettore, il modulo dato dal segmento che unisce il punto di applicazione del primo vettore con la fine del secondo e il verso rivolto verso il vertice del secondo vettore.

Esempio

Chiara sta uscendo a fare una passeggiata con i suoi due cani. Entrambi puntano in una direzione diversa davanti a lei. La risultante dello spostamento di Chiara sarà, quindi, la diagonale del parallelogramma costruito dalle direzioni dei due cani.

Nota bene: Il metodo-punta coda e quello del parallelogramma sono perfettamente equivalenti per trovare la risultante della somma tra due o più vettori.

Quando i vettori sono più di due è preferibile utilizzare il metodo punta-coda.

Differenza di vettori

Svolgere la differenza tra due vettori significa sommare al primo il vettore opposto del secondo.

Esempio

Antonio e Giulio stanno giocando a tiro alla fune e entrambi tirano ai due estremi della corda.

Si tratta di un'operazione di differenza tra vettori, in quanto il punto di applicazione e la direzione sono gli stessi e i versi opposti.

La risultante sarà un vettore con lo stesso punto di applicazione, la stessa direzione, il modulo dato dalla differenza dei due moduli e il verso rivolto in quello del vettore di modulo maggiore.

Moltiplicazione e divisione

È possibile moltiplicare e dividere un vettore $$\vec{v}$$ per un numero $$k$$​:

• Se k è positivo, la risultante è un nuovo numero che ha la stessa direzione e lo stesso verso di $$\vec{v}$$ e modulo pari al prodotto o alla divisione di $$k$$​ e $$\vec{v}$$​​
• Se k è negativo, la risultante ha la stessa direzione di $$\vec{v}$$, ma verso opposto e il modulo è pari alla divisione tra $$\vec{v}$$ e $$k$$.