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L'area dei poligoni e delle figure irregolari

Video Esplicativo

Insegnante: Fausto

Riassunto

L'area dei poligoni e delle figure irregolari

​​Definizione

I poligoni regolari hanno la caratteristica di avere tutti i lati uguali e gli angoli uguali. 

I poligoni irregolari non hanno lati uguali e angoli uguali.


Esempio
Matematica; Geometria; 5a elementare; L'area dei poligoni e delle figure irregolari
Matematica; Geometria; 5a elementare; L'area dei poligoni e delle figure irregolari
Esagono regolare: ha 6 lati uguali e 6 angoli uguali
Esagono irregolare: non ha 6 lati uguali e 6 angoli uguali



Apotema

Per calcolare l'area di poligoni regolari occorre conoscere l'apotema.

Matematica; Geometria; 5a elementare; L'area dei poligoni e delle figure irregolari


Numeri fissi

Tra la misura dell'apotema e la misura del lato c'è un rapporto costante, un numero fisso. Eccone alcuni:

Poligono
Numero fisso
Triangolo equilatero
n=apotemalato=0,289n=\dfrac {apotema}{lato}=0,289​​
Quadrato
0,50,5​​
Pentagono
0,6880,688​​
Esagono
0,8660,866​​
Ettagono
1,0381,038​​


Per calcolare l'apotema si moltiplica il lato per il numero fisso.

In formule: a=l×na=l×n.​


Esempio

Il lato di un esagono vale 1,5 cm1,5 \ cm e il numero fisso è 0,8660,866. Per calcolare l'apotema si moltiplica la lunghezza del lato per il numero fisso:

 a=l×n=1,5 cm×0,866=1,29 cma=l× n=1,5 \ cm × 0,866= 1,29 \ cm.​



Calcolo dell'area dei poligoni regolari

L'area dei poligoni regolari si può suddividere in tanti triangoli uguali quanti sono i lati. Calcolando l'area dei triangoli si ottiene l'area del poligono regolare.

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Matematica; Geometria; 5a elementare; L'area dei poligoni e delle figure irregolari
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Per calcolare l'area di un qualsiasi poligono regolare di moltiplica metà perimetro per l'apotema.

In formule: A=(perimetro:2)×apotema=(p:2)×aA= (perimetro:2)×apotema=(p:2)×a.​


Esempio

Si vuole calcolare l'area dell'ettagono regolare che ha un lato di 3,5 cm3,5 \ cm

Sapendo che il numero fisso è 1,0381,038 è possibile calcolare l'apotema, che sarà a=l×n=3,5 cm×1,038=3,663 cma=l×n=3,5 \ cm× 1,038=3,663 \ cm

Il perimetro dell'ettagono si calcola moltiplicando la lunghezza del lato per il numero dei lati: p=l×num. lati=3,5 cm×7=24,5 cmp=l×num. \ lati=3,5 \ cm×7=24,5 \ cm.​

L'area dell'ettagono regolare sarà quindi A=(p:2)×a=(24,5 cm:2)×3,663 cm=44,872 cm2A=(p:2)×a=(24,5 \ cm:2)×3,663 \ cm=44,872 \ cm^2.



Area dei poligoni irregolari

PROCEDIMENTO

1.
Scomporre il poligono irregolare in poligoni regolari;
2.

Calcolare l'area dei singoli poligoni regolari;

3.
Sommare le aree calcolate che daranno l'area totale del poligono irregolare.

Esempio

Dato il poligono ABCDEF va calcolata l'area.

Matematica; Geometria; 5a elementare; L'area dei poligoni e delle figure irregolari
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Di seguito i dati: AB=5cm\overline{AB}=5cm, FC=15cm\overline{FC}=15cm, ​AH=4cm\overline{AH}=4cm, FG=3cm\overline{FG}=3cm e GE=7cm\overline{GE}=7cm.​


1.
Si scompone il poligono irregolare in 3 poligoni regolari: un triangolo rettangolo, un rettangolo e un trapezio;
2a.
L'area del triangolo è A1=b×h2=GE×FC2=7cm×15cm2=52,5cm2A_1= \dfrac {b×h}{2}=\dfrac {\overline{GE}×\overline{FC}}{2}=\dfrac {7cm×15cm}{2}=52,5cm^2;
2b.
L'area del rettangolo è A2=b×h=FC×FG=15cm×3cm=45cm2A_2= b×h=\overline{FC}×\overline{FG}=15cm×3cm=45cm^2;
2c.
L'area del trapezio è A1=(B+b)2×h=(FC+AB)2×AH=20cm2×4cm=40cm2A_1= \dfrac {(B+b)}{2}×h=\dfrac {(\overline{FC}+\overline{AB})}{2}×\overline{AH}=\\ \dfrac {20cm}{2}×4cm=40cm^2;
3.
L'area totale del poligono irregolare sarà
 A=A1+A2+A3=52,5cm2+45cm2+40cm2=137,5cm2A=A_1+A_2+A_3=52,5cm^2+45cm^2+40cm^2=137,5cm^2.


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