Formes trigonométrique et exponentielle Forme trigonométrique Tout nombre complexe non nul peut être donné sous forme trigonométrique. On l’écrit alors de la manière suivante :
z = r ( c o s ( φ ) + i s i n ( φ ) ) , z=r(cos(\varphi)+isin(\varphi)), z = r ( cos ( φ ) + i s in ( φ )) ,
où est le module de z z z φ \varphi φ
Note : On écrit aussi c i s ( φ ) cis(\varphi)\ c i s ( φ ) à la place de c o s ( φ ) + i s i n ( φ ) cos(\varphi)+isin(\varphi) cos ( φ ) + i s in ( φ ) pour que l’expression soit plus courte. L’expression ci-dessus devient alors z = r c i s ( φ ) z=rcis(\varphi) z = rc i s ( φ ) .
Dessiner un nombre sous forme trigonométrique dans le plan complexe MÉTHODE 1.
Rassemble les termes pour obtenir la forme trigonométrique standard z = r ( c o s ( φ ) + i s i n ( φ ) ) . z=r(cos(\varphi)+isin(\varphi)). z = r ( cos ( φ ) + i s in ( φ )) .
2.
Trace une droite partant de l’origine et formant un angle φ \varphi φ avec l’axe horizontal.
3.
Mesure une longueur de r r r sur la droite.
4.
Trace le point.
Exemple Trace le point 3 ( cos ( π 6 ) + i sin ( π 6 ) ) 3\left(\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi}{6}\right)}\right) 3 ( cos ( 6 π ) + i sin ( 6 π ) ) sur le plan complexe.
Forme exponentielle La notation utilisée dans la forme trigonométrique est plutôt longue. Il est possible de la rendre plus compacte en utilisant la formule d’Euler : e i φ = c o s ( φ ) + i s i n ( φ ) e^{i\varphi}=cos(\varphi)+isin(\varphi) e i φ = cos ( φ ) + i s in ( φ ) .
La forme trigonométrique devient alors :
z = r ( c o s ( φ ) + i s i n ( φ ) ) = r e i φ . z=r(cos(\varphi)+isin(\varphi))={re}^{i\varphi}. z = r ( cos ( φ ) + i s in ( φ )) = re i φ .
Cette nouvelle forme est appelée « forme exponentielle » .
Formules d’Euler Les fonctions sinus et cosinus peuvent s’écrire à l’aide de la fonction exponentielle. Ces relations sont appelées les formules d’Euler :
cos ( φ ) = 1 2 ( e i φ + e − i φ ) , sin ( φ ) = 1 2 i ( e i φ − e − i φ ) \cos{\left(\varphi\right)=\frac{1}{2}\left(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}\right),\ \ \sin{\left(\varphi\right)}=\frac{1}{2i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})} cos ( φ ) = 2 1 ( e i φ + e − i φ ) , sin ( φ ) = 2 i 1 ( e i φ − e − i φ )
Exemple Linéarise sin 3 ( φ ) \sin^3{\left(\varphi\right)}\ sin 3 ( φ ) :
sin 3 ( φ ) = ( e i φ − e − i φ 2 i ) 3 = e 3 i φ − 3 e 2 i φ e − i φ + 3 e i φ e − 2 i φ − e − 3 i φ − 8 i = 1 4 ( 3 e i φ − e − i φ 2 i ) − 1 4 ( e 3 i φ − e − 3 i φ 2 i ) = 3 4 sin ( φ ) − 1 4 sin ( 3 φ ) ‾ \sin^3{\left(\varphi\right)=\left(\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\right)^3}=\frac{e^{3i\varphi}-3e^{2i\varphi}e^{-i\varphi}+3e^{i\varphi}e^{-2i\varphi}-e^{-3i\varphi}}{-8i}\\=\frac{1}{4}\left(3\frac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\right)-\frac{1}{4}\left(\frac{e^{3i\varphi}-e^{-3i\varphi}}{2i}\right)=\underline{\frac{3}{4}\sin{\left(\varphi\right)}-\frac{1}{4}\sin{(3\varphi)}} sin 3 ( φ ) = ( 2 i e i φ − e − i φ ) 3 = − 8 i e 3 i φ − 3 e 2 i φ e − i φ + 3 e i φ e − 2 i φ − e − 3 i φ = 4 1 ( 3 2 i e i φ − e − i φ ) − 4 1 ( 2 i e 3 i φ − e − 3 i φ ) = 4 3 sin ( φ ) − 4 1 sin ( 3 φ )
Formule de Moivre En utilisant les propriétés des puissances, tu peux écrire : ( e i φ ) n = e i n φ {(e^{i\varphi})}^n=e^{in\varphi} ( e i φ ) n = e in φ . On en déduit la formule de Moivre, qui permet de mettre en relation les sinus et cosinus d’un nombre φ \varphi φ et de ses multiples n φ n\varphi\ n φ :
cos ( n φ ) + i sin ( n φ ) = ( cos ( φ ) + i s i n ( φ ) ) n \cos{\left(n\varphi\right)+i\sin{\left(n\varphi\right)={(\cos{\left(\varphi\right)+isin(\varphi))}}^n}} cos ( n φ ) + i sin ( n φ ) = ( cos ( φ ) + i s in ( φ )) n
Exemple cos ( 3 π 2 ) + i sin ( 3 π 2 ) = ( c o s ( π 2 ) + i sin ( π 2 ) ) 3 = ( 0 + i ) 3 = − i ‾ \cos{\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin{\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\left(cos\left(\frac{\pi}{2}\right){+i\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}}\right)^3={(0+i)}^3=\underline{-i}}} cos ( 2 3 π ) + i sin ( 2 3 π ) = ( cos ( 2 π ) + i sin ( 2 π ) ) 3 = ( 0 + i ) 3 = − i
Addition et duplication des fonctions trigonométriques Deux vecteurs de norme 1 peuvent être représentés dans le cercle trigonométrique avec les coordonnées :
En utilisant deux manières différentes de calculer un produit scalaire, tu peux déterminer les égalités suivantes .
Avec la définition du produit scalaire :
En multipliant composante par composante :
On en déduit que cos ( φ − θ ) = cos ( φ ) cos ( θ ) + sin ( φ ) sin ( θ ) \cos{\left(\varphi-\theta\right)}=\cos{\left(\varphi\right)\cos{\left(\theta\right)+}\sin{\left(\varphi\right)\sin{(\theta)}}} cos ( φ − θ ) = cos ( φ ) cos ( θ ) + sin ( φ ) sin ( θ ) .
Toutes les formules d’addition découlent du même raisonnement :
cos ( φ − θ ) = cos ( φ ) cos ( θ ) + sin ( φ ) sin ( θ ) cos ( φ + θ ) = cos ( φ ) cos ( θ ) − sin ( φ ) sin ( θ ) sin ( φ − θ ) = sin ( φ ) cos ( θ ) − cos ( φ ) sin ( θ ) sin ( φ + θ ) = sin ( φ ) cos ( θ ) + cos ( φ ) sin ( θ ) \cos{\left(\varphi-\theta\right)}=\cos{\left(\varphi\right)\cos{\left(\theta\right)+}\sin{\left(\varphi\right)\sin{\left(\theta\right)}}}\\\cos{\left(\varphi+\theta\right)}=\cos{\left(\varphi\right)\cos{\left(\theta\right)-}\sin{\left(\varphi\right)\sin{\left(\theta\right)}}}\\\sin{\left(\varphi-\theta\right)}=\sin{\left(\varphi\right)\cos{\left(\theta\right)-}\cos{\left(\varphi\right)\sin{\left(\theta\right)}}}\\\sin{\left(\varphi+\theta\right)}=\sin{\left(\varphi\right)\cos{\left(\theta\right)+}\cos{\left(\varphi\right)\sin{(\theta)}}} cos ( φ − θ ) = cos ( φ ) cos ( θ ) + sin ( φ ) sin ( θ ) cos ( φ + θ ) = cos ( φ ) cos ( θ ) − sin ( φ ) sin ( θ ) sin ( φ − θ ) = sin ( φ ) cos ( θ ) − cos ( φ ) sin ( θ ) sin ( φ + θ ) = sin ( φ ) cos ( θ ) + cos ( φ ) sin ( θ )
Dans le cas où , on obtient les formules de duplication :
cos ( 2 φ ) = cos 2 ( φ ) − sin 2 ( φ ) = 2 cos 2 ( φ ) − 1 sin ( 2 φ ) = 2 cos ( φ ) sin ( φ ) \cos{\left(2\varphi\right)=\cos^2\left(\varphi\right)-\sin^2\left(\varphi\right)=2\cos^2{\left(\varphi\right)-}}1\\\sin{\left(2\varphi\right)=2\cos{\left(\varphi\right)\sin{(\varphi)}}} cos ( 2 φ ) = cos 2 ( φ ) − sin 2 ( φ ) = 2 cos 2 ( φ ) − 1 sin ( 2 φ ) = 2 cos ( φ ) sin ( φ )
Exemple Calcule la valeur de 2 cos 3 ( π 9 ) − cos ( π 9 ) − 2 cos ( π 9 ) sin 2 ( π 9 ) 2\cos^3{\left(\frac{\pi}{9}\right)-\cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)}-2\cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)}\sin^2\left(\frac{\pi}{9}\right)}\ 2 cos 3 ( 9 π ) − cos ( 9 π ) − 2 cos ( 9 π ) sin 2 ( 9 π ) :
Mettre en facteur cos ( π 9 ) \cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)} cos ( 9 π ) dans les deux premiers termes :
= cos ( π 9 ) ( 2 cos 2 ( π 9 ) − 1 ) − 2 cos ( π 9 ) sin 2 ( π 9 ) =\cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)}\left(2\cos^2{\left(\frac{\pi}{9}\right)}-1\right)-2\cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)}\sin^2\left(\frac{\pi}{9}\right) = cos ( 9 π ) ( 2 cos 2 ( 9 π ) − 1 ) − 2 cos ( 9 π ) sin 2 ( 9 π )
Développe sin 2 ( π 9 ) \sin^2\left(\frac{\pi}{9}\right)\ sin 2 ( 9 π ) :
= cos ( π 9 ) ( 2 cos 2 ( π 9 ) − 1 ) − 2 cos ( π 9 ) sin ( π 9 ) sin ( π 9 ) =\cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)}\left(2\cos^2{\left(\frac{\pi}{9}\right)}-1\right)-2\cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)}\sin{\left(\frac{\pi}{9}\right)}\sin{\left(\frac{\pi}{9}\right)} = cos ( 9 π ) ( 2 cos 2 ( 9 π ) − 1 ) − 2 cos ( 9 π ) sin ( 9 π ) sin ( 9 π )
Utilise les deux formules de duplication :
= cos ( π 9 ) cos ( 2 π 9 ) − sin ( 2 π 9 ) sin ( π 9 ) =\cos{\left(\frac{\pi}{9}\right)}\cos{\left(\frac{2\pi}{9}\right)-\sin{\left(\frac{2\pi}{9}\right)}\sin{\left(\frac{\pi}{9}\right)}} = cos ( 9 π ) cos ( 9 2 π ) − sin ( 9 2 π ) sin ( 9 π )
Utilise la formule d’addition pour cos ( φ + θ ) \cos{\left(\varphi+\theta\right)}\ cos ( φ + θ ) :
= cos ( π 9 + 2 π 9 ) =\cos{\left(\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{9}\right)} = cos ( 9 π + 9 2 π )
Simplifie l’expression :
= cos ( 3 π 9 ) = cos ( π 3 ) = 1 2 ‾ =\cos{\left(\frac{3\pi}{9}\right)=\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)=\underline{\frac{1}{2}}}} = cos ( 9 3 π ) = cos ( 3 π ) = 2 1
