Plan complexe géométrique

Plan complexe

On peut représenter les nombres réels sur une droite. Similairement, il existe une représentation géométrique des nombres complexes dans un système de coordonnées. L’axe horizontal représente la partie réelle et l’axe vertical représente la partie imaginaire.

Dessiner un nombre sous forme algébrique dans le plan complexe

MÉTHODE

Exemple 

Le nombre $$3+2i$$​ correspond au point $$(3\ ;\ 2)$$​ dans le plan complexe.

Affixe

Pour tout point  dans le plan complexe, on appelle le nombre complexe  l’affixe de . De même, pour tout vecteur  on appelle le nombre complexe  l’affixe de .

Module et argument

Lorsqu’un nombre complexe  est représenté dans le plan complexe, la distance $$r$$​ qui le sépare de l’origine est appelée son « module ». On le note  et on peut le calculer à l’aide du théorème de Pythagore :

$$\left|z\right|=\sqrt{{Re(z)}^2+{Im(z)}^2}=\sqrt{a^2+b^2}$$​​

Comme $$z\times\overline{z}=\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2+b^2$$​, on peut en déduire la propriété suivante :

$$\left|z\right|^2=z\overline{z}$$​​

Le segment reliant le point et l’origine forme un angle $$\varphi$$​ avec l’axe horizontal. Cet angle est appelé « argument » et on le note $$arg(z)$$​.

Note : Le module est un nombre réel positif. L’argument est conventionnellement donné en radians. Il prend une valeur entre 0 et $$2\pi$$​.

Propriétés du module

Représentation du nombre conjugué

Chaque nombre complexe $$z=a+bi$$​ a un conjugué $$\overline{z}=a-bi$$​. Comme leurs parties réelles sont égales, et leurs modules aussi, $$\overline{z}$$​ est géométriquement la symétrie de $$z$$​ par rapport à l’axe des réels.

L’ensemble 

L’ensemble de tous les nombres complexes dont le module vaut  est noté $$\mathbb{U}$$​.

Le produit de deux nombres complexes appartenant à  appartient aussi à $$\mathbb{U}$$​:

$$\left|z_1\times z_2\right|=\left|z_1\right|\times\left|z_2\right|=1\times1=1$$​​

L’inverse d’un nombre complexe appartenant à  appartient également à $$\mathbb{U}$$​:

$$\left|z\prime\right|=\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{\left|z\right|}=\frac{1}{1}=1$$