Nombres complexes : règles de calcul

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire des nombres complexes, on traite la partie réelle et la partie imaginaire séparément. La partie réelle du résultat est la somme (ou la différence) des parties réelles ; la partie imaginaire du résultat est la somme (ou la différence) des parties imaginaires.

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$$​​

Exemples

​$$(3+2i)+(4+i)=(3+4)+(2+1)i=7+3i\\(3+2i)-(4+i)=(3-4)+(2-1)i=-1+i$$​​

Multiplication 

Pour multiplier deux nombres complexes, tu peux considérer l’unité imaginaire comme une variable et utiliser les règles de distributivité. Ensuite, tu peux simplifier l’expression en utilisant le fait que $$i^2=-1$$​.

$$\left(a+bi\right)\times\left(c+di\right)\\=a\times c+a\times di+bi\times c+bdi^2\\=ac+adi+bci-bd\\=(ac-bd)+(ad+bc)i$$​​

Exemples

​$$\left(2+3i\right)\times\left(5+4i\right)=2\times5+2\times4i+3i\times5+3\times4\times i^2=-2+23i$$​​

Division 

Pour diviser deux nombres complexes, on peut aussi considérer l’unité imaginaire comme une variable. Par convention, on évite d’avoir des  dans le dénominateur. Pour les enlever, on multiplie le haut et le bas de la fraction par le conjugué du dénominateur.

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\times\frac{\bar{c+d\dot{i}}}{\bar{c+d\dot{i}}}$$​​

​$$=\frac{a+bi}{c+di}\times\frac{c-di}{c-di}$$​​

​$$=\frac{ac-adi+bci-bdi^2}{c^2-d^2i^2}$$​​

​$$=\frac{(ac+bd)+(-ad+bc)i}{c^2+d^2}$$​​

Exemple

​$$\frac{1+3i}{4+2i}=\frac{1+3i}{4+2i}\times\frac{4-2i}{4-2i}=\frac{1\times4+1\times(-2i)+3i\times4+3\times(-2)\times i^2}{4^2-2^2i^2}=\frac{10+10i}{20}=\frac{1+i}{2}$$​​

Note : Le calcul de l’inverse $$z'$$​ d’un nombre complexe $$z=a+bi$$​ est un cas particulier de la division :

$$z^\prime=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$​​

Par définition de l’inverse, $$z\times z^\prime=1$$​.

Résoudre une équation

Le principe est le même qu’avec les nombres réels : tu dois isoler l’inconnue au moyen des opérations ci-dessus.

Exemple 

Trouve la valeur de $$z$$​ dans l’équation suivante : 

$$2z-5=3+2i$$​​

Isole l’inconnue recherchée :

$$2z=3+2i+5\\z=\frac{8+2i}{2}$$​​

Simplifie l’expression :

$$z=4+i$$​​

Binôme de Newton

Soient  et  deux nombres complexes. Le binôme de Newton est la formule suivante :

$${(z_1+z_2)}^n=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}z_1^{n-k}{\ z}_2^k}$$​​

Il peut servir à calculer la puissance d’un nombre complexe.

Exemple

$$\left(2+3i\right)^3=\binom{3}{0}\times2^3\times\left(3i\right)^0+\binom{3}{1}{\times2}^2{\times\left(3i\right)}^1+\binom{3}{2}\times2^1\times\left(3i\right)^2+\binom{3}{3}{\times2}^0{\times\left(3i\right)}^3$$​​

$$=8+3\times4\times3i+3\times2\times-9-27i$$​​

$$=\underline{-46+9i}$$​​