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Résumés

Matrices : graphes

Graphes

Définition

Un graphe est un ensemble fini d’éléments (les points), appelé sommets, reliés entre eux par des arêtes (les segments).

Notions

ORDRE	L’ordre d’un graphe est son nombre de sommets.
DEGRÉ	Le degré d’un sommet est le nombre d’arrêtes qui le relient aux autres sommets.
ADJACENTS	Deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête.
COMPLET	Un graphe est complet lorsque chacun de ses sommets est relié à tous les autres.
ORIENTÉ	Dans un graphe orienté, les arêtes ont un sens. On représente généralement un tel graphe avec des flèches sur les arêtes.

Exemples


Graphe d’ordre 4. Le sommet A est de degré 2 et est adjacent aux sommets B et C.	Graphe complet d’ordre 5.

Graphe orienté	Graphe non orienté

Chaînes

Définition

Une suite d’arêtes consécutives forme une chaîne. Sa longueur est le nombre d’arêtes qui la composent. Si le sommet de départ est le même que celui d’arrivée, on dit que la chaîne est fermée.

S’il est possible de relier n’importe quelle paire de sommets du graphe par une chaîne, on dit que le graphe est connexe.

Exemples


Graphe connexe. On peut par exemple construire une chaîne fermée de longueur 3 en reliant A à B, puis B à C, puis de nouveau C à A.	Graphe non connexe. On peut par exemple construire une chaîne de longueur 2 de E à C.

Matrice d’adjacence

Chaque ligne et chaque colonne de la matrice d’adjacence représente un sommet du graphe. Pour un graphe d’ordre n, la matrice d’adjacence est une matrice carrée $n\times n$ .

Dans un graphe non orienté, la valeur du coefficient $a_{i,j}$ de la matrice est 1 si le sommet $I$ est adjacent au sommet $j$ . Sinon, le coefficient est 0.

Sommet

Ligne/colonne

\left(\begin{matrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\\\end{matrix}\right)

Mathématiques; Graphes; Tle générale; Matrices : graphes

Dans un graphe orienté, la valeur du coefficient $a_{i,j}$ de la matrice est 1 si une arête part du sommet $I$ (ligne) et va vers le sommet $j$ (colonne). Sinon, le coefficient est 0.

Exemple

Sommet	A	B	C
Ligne/colonne	1	2	3

$\left(\begin{matrix}0&1&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right)$

Note : Dans le cas d’un graphe non orienté, la matrice adjacente est symétrique, c’est-à-dire que le coefficient $a_{i,j}$ est toujours égal au coefficient $a_{j,i}$ . Cependant, dans un graphe orienté, il est possible que les deux coefficients ne soient pas égaux.

Apprenez avec les Bases

Durée:

Unité 1