Matrices : matrice inverse

Définition

La matrice inverse $$A^{-1}$$​ d’une matrice carrée $$A$$​ est une matrice qui donne l’identité quand on la multiplie avec $$A$$​. Si elle existe, on a :

$$A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I_n$$​​

$$I_n$$​ est la matrice identité de dimension $$n\times n$$​.

Exemple

Multiplication de la matrice  et de son inverse

$$A=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right),\ {\ A}^{-1}=\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)$$​​

Prouve, que est la matrice inverse de  :$$A^{-1}\$$​ $$A$$​

$$A\times A^{-1}=\left(\begin{matrix}1&3\\1&4\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}4&-3\\-1&1\\\end{matrix}\right)$$​​

Multiplie :

$$\left(\begin{matrix}1\times4-3\times1&4\times3-3\times4\\-1\times1+1\times1&-1\times3+1\times4\\\end{matrix}\right)=\underbrace{\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)}_{Matrice\ identit\acute{e}}=I_n$$​​

Note : La matrice $$A$$ est inversible si et seulement si son déterminant n’est pas égal à zéro : $$det{(A})\neq0$$.

Déterminer la matrice inverse

Matrices d’ordre 2

FORMULE

Exemple 

Calculer la matrice inverse d’une matrice $$2\times2.$$​ 

$$A=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)$$​​

Calcule le déterminant :

$$\det{\left(A\right)}=5\times2-3\times3=1$$​​

Trouve la matrice inverse :

$$A^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)$$​​

Vérifie :

$$A\times A^{-1}=\left(\begin{matrix}5&3\\3&2\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}2&-3\\-3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10-9&-15+15\\6-6&-9+10\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$$​​

Matrices et systèmes d’équations linéaires

Les matrices peuvent être utilisées pour représenter et résoudre un système d’équations linéaires.

Méthode

Exemple

$$\begin{cases}2x-4y=3 \\x-3y=-1\end{cases}$$​​

Écris le système en écriture matricielle :

$$A\times X=B$$​​

$$A=\left(\begin{matrix}2&-4\\1&-3\\\end{matrix}\right),\ \ X=\binom{x}{y},\ \ B=\binom{3}{-1}$$​​

Calcule le déterminant de $$A:$$​

$$det{\left(A\right)}=2\times\left(-3\right)-\left(-4\right)\times1=-2$$​​

Détermine la matrice inverse de :$$A$$​

$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{matrix}-3&4\\-1&2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1,5&-2\\0,5&-1\\\end{matrix}\right)$$​​

Trouve la solution :

$$X=A^{-1}\times B=\left(\begin{matrix}1,5&-2\\0,5&-1\\\end{matrix}\right)\times\binom{3}{-1}=\binom{6,5}{2,5}$$​​

$$\underline{x=6,5;\ \ y=2,5}$$​​

Transformations géométriques du plan

Une matrice colonne correspond à un vecteur. La multiplication d’un vecteur par une matrice donne un nouveau vecteur. Tu peux donc te représenter la multiplication d’un vecteur par une matrice comme une transformation géométrique, qui déplace, tourne et/ou change la taille du vecteur :

$$\binom{x\prime}{y\prime}=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\times\binom{x}{y}$$​​

Exemple

Le vecteur $$\left(\begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}\right)$$ devient le vecteur $$\ \left(\begin{matrix}3\\1\\\end{matrix}\right)$$ après multiplication par la matrice $$T=\left(\begin{matrix}1&1\\0&1\\\end{matrix}\right)$$.

Transformations standards

Le tableau suivant indique les transformations courantes opérées sur les vecteurs et les matrices correspondantes :