Matrices : calcul matriciel

Addition et soustraction

Pour que deux matrices puissent être additionnées ou soustraites, il faut qu’elles aient la même dimension.

ADDITION

de deux matrices

Additionne les coefficients qui sont à la même place.

$A+B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{matrix}\right)$

SOUSTRACTION

de deux matrices

Soustrais les coefficients qui sont à la même place.

$A-B=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\\\end{matrix}\right)$

Exemple

Addition

$\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)$

Matrice opposée

La matrice opposée de la matrice $A$ est la matrice $-A$ . Pour l’obtenir, change le signe de tous les coefficients de la matrice (multiplication par $-1$ ).

Exemple

$A=\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ -A=\left(\begin{matrix}-3&-2&2\\-1&-2&-3\\-5&9&-1\\\end{matrix}\right)$

Multiplication scalaire - Nombre et matrice

Tu peux multiplier la matrice par un nombre réel. Tous les coefficients de la matrice sont alors multipliés par ce nombre. La dimension de la matrice ne change pas.

Conditions

Le nombre par lequel on multiplie est arbitraire et la matrice peut être de toutes les dimensions possibles.

MÉTHODE

Tous les coefficients de la matrice sont individuellement multipliés par $k\in\mathbb{R}$ :

$kA=k\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\\\end{matrix}\right)$

Exemple

Multiplication d’un nombre et d’une matrice

$2\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times3&2\times5\\2\times(-1)&2\times4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)$

Multiplication - Produit matriciel

Lorsqu’on multiplie deux matrices $A\times B$ , on obtient une nouvelle matrice. La nouvelle matrice a le même nombre de lignes que la matrice de gauche $A$ , et le même nombre de colonnes que celui de la matrice de droite $B$ .

Conditions

Le nombre de colonnes de la première matrice doit correspondre au nombre de lignes de la seconde.

MÉTHODE

1.	Multiplie les coefficients de la première ligne de la matrice un à un avec les coefficients de la première colonne de $B.$
2.	Additionne tous les produits.
3.	On obtient le coefficient de la première ligne et la première colonne de $C$ .
4.	Répète les étapes 1 et 2 avec la deuxième ligne de $A$ et la première colonne de $B$ . Le résultat donne le coefficient de la deuxième ligne et la première colonne de $C$ .
5.	Continue jusqu’à avoir multiplié toutes les lignes de $A$ avec la première colonne de puis repars de la première ligne de $B$ et multiplie-la avec la deuxième colonne de $B.$ Le résultat donne le coefficient de la première ligne et la deuxième colonne de $C$ .
6.	Continue ainsi de suite jusqu’à avoir multiplié toutes les lignes de $A$ avec toutes les colonnes de $B$ .

Mathématiquement cela peut être exprimé comme ceci : Multiplie les coefficients de la ligne de la matrice $A$ un par un avec les coefficients de la colonne $j$ de la matrice $B,$ additionne-les et écris le résultat à la position $c_{ij}$ de la nouvelle matrice $C$ .

$A\times B=C$

$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+a_{13}\times b_{31}&a_{11}\times b_{12}+a_{12}\times b_{22}+a_{13}\times b_{32}\\a_{21}\times b_{11}+a_{22}\times b_{21}+a_{23}\times b_{31}&a_{21}\times b_{12}+a_{22}\times b_{22}+a_{23}\times b_{32}\\\end{matrix}\right)$

Exemple

$\left(\begin{matrix}3&2&1\\5&-2&6\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\\-2&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times2+2\times5+1\times\left(-2\right)&3\times1+2\times2+1\times\left(-1\right)\\5\times2+\left(-2\right)\times5+6\times\left(-2\right)&5\times1+\left(-2\right)\times2+6\times\left(-1\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14&6\\-12&-5\\\end{matrix}\right)$

Cas d’une matrice ligne et d’une matrice colonne

Une matrice ligne $1\times n$ multipliée par une matrice colonne $n\times1$ donne une matrice $1\times1$ , autrement dit un nombre réel.

Exemple

$(\begin{matrix}1&3&-2)\times\left(\begin{matrix}2\\0\\2\\\end{matrix}\right)=1\times2+3\times0+(-2)\times2=-2\\\end{matrix}$

Puissances d’une matrice carrée

La puissance d’une matrice carrée est définie comme $A^k=\underbrace{A\times A\times\ldots\times A}_{k\ fois}$ .

Dans le cas d’une matrice diagonale $A$ , il est facile de calculer $A^k$ . Dans ce cas-là, on a :

$\underbrace{\left(\begin{matrix}a_{11}&0&0&\cdots&0\\0&\ a_{22}&0&\ \cdots&0\\0&\ 0&a_{33}&\cdots&0\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right)\times\ldots\times\left(\begin{matrix}a_{11}&0&0&\cdots&0\\0&\ a_{22}&0&\ \cdots&0\\0&\ 0&a_{33}&\cdots&0\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right)}_{k\ fois}=\left(\begin{matrix}{a_{11}}^k&0&0&\cdots&0\\0&\ {a_{22}}^k&0&\ \cdots&0\\0&\ 0&{a_{33}}^k&\cdots&0\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\0&0&0&\cdots&{a_{nn}}^k\\\end{matrix}\right)$

Note : Si $A$ est une matrice carrée $n\times n$ et n’est pas la matrice nulle, alors $A^0=I_n$ .

Exemple

$\left(\begin{matrix}2&0&0\\0&-3&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)^3=\left(\begin{matrix}2^3&0&0\\0&{(-3)}^3&0\\0&0&1^3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8&0&0\\0&-27&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$

Règles de calcul

Les règles suivantes s’appliquent au calcul matriciel (où , et sont des matrices et et des nombres réels).

Addition et soustraction

$A+B=B+A$	commutatif	Les matrices peuvent d’être additionnées dans un sens ou dans l’autre.
$(A+B)+C=A+(B+C)$	associatif	L’ordre dans lequel on effectue l’addition ne joue pas de rôle.
$A+O_{nm}=A$	élément neutre	Lorsqu’on additionne la matrice nulle, rien ne change.

Multiplication par un scalaire

$\left(r+s\right)A=rA+sA$	distributif	La multiplication par une somme de nombres réels se distribue comme écrit.
$r(A+B)=rA+rB$	distributif	La multiplication scalaire d’une somme de matrices se distribue comme écrit.

Produit matriciel

$A\times B\neq B\times A$	pas commutatif	On ne peut pas inverser l’ordre des matrices dans un produit matriciel.
$(A\times B)\times C=A\times(B\times C)$	associatif	L’ordre dans lequel on effectue la multiplication ne joue pas de rôle (mais l’ordres des matrices oui).
$A\times I_n=I_n\times A=A$	élément neutre	Lorsqu’on multiplie une matrice avec la matrice identité, rien ne change.
$A\times(B+C)=A\times B+A\times C\\(A+B)\times C=A\times C+B\times C$	distributif	On peut distribuer la multiplication d’une somme comme écrit.