Matrices : calcul matriciel

Addition et soustraction

Pour que deux matrices puissent être additionnées ou soustraites, il faut qu’elles aient la même dimension.

Exemple

Addition

$$\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&8&1\\2&-1&0\\-2&3&5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+1&2+8&-2+1\\1+2&2-1&3+0\\5-2&-9+3&1+5\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&10&-1\\3&1&3\\3&-6&6\\\end{matrix}\right)$$​​

Matrice opposée

La matrice opposée de la matrice $$A$$​ est la matrice $$-A$$​. Pour l’obtenir, change le signe de tous les coefficients de la matrice (multiplication par $$-1$$​).

Exemple

​$$A=\left(\begin{matrix}3&2&-2\\1&2&3\\5&-9&1\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ -A=\left(\begin{matrix}-3&-2&2\\-1&-2&-3\\-5&9&-1\\\end{matrix}\right)$$​​

Multiplication scalaire - Nombre et matrice

Tu peux multiplier la matrice par un nombre réel. Tous les coefficients de la matrice sont alors multipliés par ce nombre. La dimension de la matrice ne change pas.

Conditions

Le nombre par lequel on multiplie est arbitraire et la matrice peut être de toutes les dimensions possibles.

MÉTHODE

Tous les coefficients de la matrice sont individuellement multipliés par $$k\in\mathbb{R}$$​ :

$$kA=k\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ka_{11}&ka_{12}\\ka_{21}&ka_{22}\\\end{matrix}\right)$$​​

Exemple 

Multiplication d’un nombre et d’une matrice

$$2\left(\begin{matrix}3&5\\-1&4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times3&2\times5\\2\times(-1)&2\times4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&10\\-2&8\\\end{matrix}\right)$$​​

Multiplication - Produit matriciel

Lorsqu’on multiplie deux matrices $$A\times B$$​, on obtient une nouvelle matrice. La nouvelle matrice a le même nombre de lignes que la matrice de gauche $$A$$​, et le même nombre de colonnes que celui de la matrice de droite $$B$$​.

Conditions

Le nombre de colonnes de la première matrice doit correspondre au nombre de lignes de la seconde.

MÉTHODE

Mathématiquement cela peut être exprimé comme ceci : Multiplie les coefficients de la ligne  de la matrice $$A$$​ un par un avec les coefficients de la colonne $$j$$​ de la matrice $$B,$$​ additionne-les et écris le résultat à la position $$c_{ij}$$​ de la nouvelle matrice $$C$$​.

$$A\times B=C$$​​

$$\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21}+a_{13}\times b_{31}&a_{11}\times b_{12}+a_{12}\times b_{22}+a_{13}\times b_{32}\\a_{21}\times b_{11}+a_{22}\times b_{21}+a_{23}\times b_{31}&a_{21}\times b_{12}+a_{22}\times b_{22}+a_{23}\times b_{32}\\\end{matrix}\right)$$​​

Exemple

​$$\left(\begin{matrix}3&2&1\\5&-2&6\\\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\\-2&-1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times2+2\times5+1\times\left(-2\right)&3\times1+2\times2+1\times\left(-1\right)\\5\times2+\left(-2\right)\times5+6\times\left(-2\right)&5\times1+\left(-2\right)\times2+6\times\left(-1\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14&6\\-12&-5\\\end{matrix}\right)$$​​

Cas d’une matrice ligne et d’une matrice colonne

Une matrice ligne $$1\times n$$​ multipliée par une matrice colonne $$n\times1$$​ donne une matrice $$1\times1$$​, autrement dit un nombre réel.

Exemple

​$$(\begin{matrix}1&3&-2)\times\left(\begin{matrix}2\\0\\2\\\end{matrix}\right)=1\times2+3\times0+(-2)\times2=-2\\\end{matrix}$$​​

Puissances d’une matrice carrée

La puissance d’une matrice carrée est définie comme $$A^k=\underbrace{A\times A\times\ldots\times A}_{k\ fois}$$​.

Dans le cas d’une matrice diagonale $$A$$​, il est facile de calculer $$A^k$$​. Dans ce cas-là, on a :

$$\underbrace{\left(\begin{matrix}a_{11}&0&0&\cdots&0\\0&\ a_{22}&0&\ \cdots&0\\0&\ 0&a_{33}&\cdots&0\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right)\times\ldots\times\left(\begin{matrix}a_{11}&0&0&\cdots&0\\0&\ a_{22}&0&\ \cdots&0\\0&\ 0&a_{33}&\cdots&0\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\0&0&0&\cdots&a_{nn}\\\end{matrix}\right)}_{k\ fois}=\left(\begin{matrix}{a_{11}}^k&0&0&\cdots&0\\0&\ {a_{22}}^k&0&\ \cdots&0\\0&\ 0&{a_{33}}^k&\cdots&0\\\vdots&\ \cdots&\cdots&\ddots\ &\vdots\\0&0&0&\cdots&{a_{nn}}^k\\\end{matrix}\right)$$​​

Note : Si $$A$$​ est une matrice carrée $$n\times n$$​ et n’est pas la matrice nulle, alors $$A^0=I_n$$​.

Exemple

$$\left(\begin{matrix}2&0&0\\0&-3&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)^3=\left(\begin{matrix}2^3&0&0\\0&{(-3)}^3&0\\0&0&1^3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8&0&0\\0&-27&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right)$$​​

Règles de calcul

Les règles suivantes s’appliquent au calcul matriciel (où ,  et  sont des matrices et  et  des nombres réels). 

Addition et soustraction

Multiplication par un scalaire

Produit matriciel