Formule de Bayes

Le théorème de Bayes donne une formule qui permet de calculer la probabilité conditionnelle $$P_B(A)$$​ en connaissant la probabilité conditionnelle $$P_A(B)$$​ et les probabilités des événements $$A$$​ et $$B$$​, soit $$P(A)$$​ et $$P(B)$$​.

Formule 

$$P_B(A)=\frac{P_A(B)\times P(A)}{P(B)}$$​​

Note : $$P(A)$$​ est appelée la probabilité a priori et $$P_B(A)$$​ la probabilité a posteriori.

Exemple 

Des étudiants en première année de médecine ont eu deux examens et on connaît les statistiques suivantes : 

• Le taux de réussite au premier examen est de $$70\%$$​.
• Le taux de réussite au deuxième est de $$40\%$$​.
• La probabilité qu’un étudiant ait réussi le premier examen sachant qu’il a réussi le deuxième est de $$80\%$$​.

Calcule la probabilité qu’un étudiant réussisse le deuxième examen sachant qu’il a réussi le premier. 

Définis les événements :

​$$A = R\acute{e}ussite\ du\ premier\ examen\\B = R\acute{e}ussite\ du\ deuxième\ examen$$​​

Trouve les probabilités : 

$$P\left(A\right) = 70\% = 0,7\\P\left(B\right) = 40\% = 0,4\\P_B(A) = 80\% = 0,8$$​​

Applique la formule de Bayes (en la réarrangeant) : 

$$P_A(B)=\frac{P_B\left(A\right)\times P\left(B\right)}{P\left(A\right)}=\ \frac{0,8\times0,4}{0,7}\approx0,46=\underline{46\%}$$​​

La probabilité qu’un étudiant réussisse le deuxième examen est donc a priori $$40\%$$ mais sachant qu’il a réussi le premier examen, la probabilité de réussir le deuxième est a posteriori de $$46\%$$​.