Position relative : cercle et droite

Position relative d’un cercle et d’une droite

$$d$$​ est la distance de la droite au centre du cercle.

Trois cas

POINT DE CONTACT	DEUX POINTS D’INTERSECTION	AUCUN POINT D’INTERSECTION
$$d=r$$​ : La droite est tangente au cercle en un point.	$$d<r$$​ : La droite coupe le cercle en deux points.	$$d>r$$​ : La droite ne coupe pas le cercle.

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Intersection d’un cercle et d’une droite parallèle à un axe

Une droite parallèle à un axe est une droite verticale d’équation $$x=a$$​, ou une droite horizontale d’équation $$y=b$$​.

MÉTHODE

Exemple 

Trouve les points d’intersections entre le cercle de centre $$M\left(3;2\right)$$​ comportant le point $$P\left(0;-2\right)$$​ et la droite verticale d’abscisse $$x=7$$​.

Calcule le rayon du cercle :

$$r=\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(0-3)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{25}=5$$​​

Forme l’équation standard du cercle :

$$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$​​

Remplace la valeur $$x$$​ par $$7$$​ :

$$\left(7-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$​​

Développe puis simplifie :

$$16+y^2-2y+4=25\\y^2-2y-5=0$$​​

Résous :

$$y_1=1-\sqrt6,\ {\ y}_2=1+\sqrt6$$​​

Les points d’intersection sont donc :

$$\underline{I_1\left(7;1-\sqrt6\right),\ {\ I}_2(7;1+\sqrt6)}$$​​