Position relative : cercle et droite

Position relative d’un cercle et d’une droite

$d$ est la distance de la droite au centre du cercle.

Trois cas

POINT DE CONTACT	DEUX POINTS D’INTERSECTION	AUCUN POINT D’INTERSECTION
$d=r$ : La droite est tangente au cercle en un point.	$d<r$ : La droite coupe le cercle en deux points.	$d>r$ : La droite ne coupe pas le cercle.

Intersection d’un cercle et d’une droite parallèle à un axe

Une droite parallèle à un axe est une droite verticale d’équation $x=a$ , ou une droite horizontale d’équation $y=b$ .

MÉTHODE

1.

Si la droite est verticale, remplace la valeur dans l’équation du cercle par la valeur d’abscisse $a$ :

$\left(a-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2$

Si la droite est horizontale, remplace la valeur dans l’équation du cercle par la valeur d’ordonnée $b$ :

$\left(x-x_M\right)^2+\left(b-y_M\right)^2=r^2$

2.

Calcule la valeur de l’inconnue dans l’équation de cercle et déduis-en les points d’interception.

Note : Chaque solution de l’équation est un point d’intersection. Comme il s’agit d’une équation du second degré, il est possible de trouver une, deux ou aucune solution.

Exemple

Trouve les points d’intersections entre le cercle de centre $M\left(3;2\right)$ comportant le point $P\left(0;-2\right)$ et la droite verticale d’abscisse $x=7$ .

Calcule le rayon du cercle :

$r=\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(0-3)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{25}=5$ 

Forme l’équation standard du cercle :

$\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$ 

Remplace la valeur $x$ par $7$ :

$\left(7-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$ 

Développe puis simplifie :

$16+y^2-2y+4=25\\y^2-2y-5=0$ 

Résous :

$y_1=1-\sqrt6,\ {\ y}_2=1+\sqrt6$ 

Les points d’intersection sont donc :

$\underline{I_1\left(7;1-\sqrt6\right),\ {\ I}_2(7;1+\sqrt6)}$ 