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Enseignant: Clémence

Résumés

Équation standard du cercle

Définition

Equation standard du cercle

Cercle de centre M(xM;yM)M(x_M;y_M)M(xM​;yM​)​ et de rayon rrr​ :

(x−xM)2+(y−yM)2=r2\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2(x−xM​)2+(y−yM​)2=r2​​


Note : Les cercles décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.


Mathématiques; Cercles; 1re générale; Équation standard du cercle
​
Exemple 

Donne l’équation du cercle de centre M(3;−1)M(3;-1)M(3;−1)​ et rayon r=2r=2r=2​ :


Équation : (x−3)2+(y+1)2=4‾\underline{\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=4}(x−3)2+(y+1)2=4​​



Trouver l’équation du cercle

Le centre MMM​ et un point PPP​ sur le cercle sont donnés.


MÉTHODE

1.

Calcule le rayon rrr​, qui correspond à la distance de MMM​ à PPP​ : 

∥MP→∥=(xP−xM)2+(yP−yM)2\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2}∥MP∥=(xP​−xM​)2+(yP​−yM​)2​​​

2.

Écris l’équation du cercle pour les valeurs de rrr​ et MMM​.


Exemple 

Trouve l’équation du cercle de centre M(3;2)M\left(3;2\right)M(3;2)​ comportant le point P(0;−2)P\left(0;-2\right)P(0;−2)​.


Calcule le rayon :

r=∥MP→∥=(0−3)2+(−2−2)2=25=5r=\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(0-3)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{25}=5r=∥MP∥=(0−3)2+(−2−2)2​=25​=5​​


Forme l’équation standard du cercle :

(x−3)2+(y−2)2=25‾\underline{\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25}(x−3)2+(y−2)2=25​​​



Méthode pour les exercices typiques

Trouver le milieu et rayon d’un cercle à partir d’une équation

MÉTHODE

1.

Pour chaque variable, utilise la complétion du carré pour obtenir des termes de forme (x−xM)2\left(x-x_M\right)^2(x−xM​)2​ et (y−yM)2\left(y-y_M\right)^2(y−yM​)2​

2.

Écris l’équation sous la forme souhaitée :

  • Parenthèses au carré à gauche
  • Nombres à droite

3.

Le rayon et les coordonnées du centre peuvent être extraits directement de l’équation standard.


Conseil : Le rayon (à droite dans la forme standard) doit être positif. Sinon ce n’est pas un cercle.


Exemple  

Cercle d’équation :  x2+y2+6x−4y−12=0\ x^2+y^2+6x-4y-12=0 x2+y2+6x−4y−12=0​


Complétion du carré :

x2+6x+9−9⏟compleˊteˊ+y2−4y+4−4⏟compleˊteˊ−12=0x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{complété}+y^2-4y\underbrace{+ 4-4}_{complété}-12=0x2+6xcompleˊteˊ+9−9​​+y2−4ycompleˊteˊ+4−4​​−12=0​​


(x+3)2−9+(y−2)2−4−12=0{(x+3)}^2-9+\left(y-2\right)^2-4-12=0(x+3)2−9+(y−2)2−4−12=0​​


Retrouve l’équation standard du cercle :

(x+3)2+(y−2)2=25\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25(x+3)2+(y−2)2=25​​


Déduis-en le rayon et les coordonnées du centre :

r=5‾       M(−3;2)‾\underline{r=5}\ \ \ \ \ \ \ \underline{M(-3;2)}r=5​       M(−3;2)​​​





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Durée:
Équation standard du cercle

Unité 1

Équation standard du cercle

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Questions fréquemment posées sur les crédits

Qu'est-ce qu'un cercle ?

Les cercles décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon).

Comment trouver l'équation du cercle ?

Calcule le rayon r, qui correspond à la distance de M à P. Écris l’équation du cercle pour les valeurs de r et M.

Quelle est l'équation d'un cercle ?

Cercle de centre M(x_M;y_M) et de rayon r : (x-x_M )^2+(y-y_M )^2=r^2

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