Équation standard du cercle

Définition

Equation standard du cercle

Cercle de centre $$M(x_M;y_M)$$​ et de rayon $$r$$​ :

$$\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2$$​​

Note : Les cercles décrivent tous les points qui ont la même distance du centre (rayon). La formule est basée sur le théorème de Pythagore.

​

Exemple 

Donne l’équation du cercle de centre $$M(3;-1)$$​ et rayon $$r=2$$​ :

Équation : $$\underline{\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=4}$$​

Trouver l’équation du cercle

Le centre $$M$$​ et un point $$P$$​ sur le cercle sont donnés.

MÉTHODE

Exemple 

Trouve l’équation du cercle de centre $$M\left(3;2\right)$$​ comportant le point $$P\left(0;-2\right)$$​.

Calcule le rayon :

$$r=\lVert\overrightarrow{MP}\rVert=\sqrt{(0-3)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{25}=5$$​​

Forme l’équation standard du cercle :

$$\underline{\left(x-3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25}$$​​

Méthode pour les exercices typiques

Trouver le milieu et rayon d’un cercle à partir d’une équation

MÉTHODE

Conseil : Le rayon (à droite dans la forme standard) doit être positif. Sinon ce n’est pas un cercle.

Exemple  

Cercle d’équation : $$\ x^2+y^2+6x-4y-12=0$$​

Complétion du carré :

$$x^2+6x\underbrace{+ 9-9}_{complété}+y^2-4y\underbrace{+ 4-4}_{complété}-12=0$$​​

$${(x+3)}^2-9+\left(y-2\right)^2-4-12=0$$​​

Retrouve l’équation standard du cercle :

$$\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2=25$$​​

Déduis-en le rayon et les coordonnées du centre :

$$\underline{r=5}\ \ \ \ \ \ \ \underline{M(-3;2)}$$​​