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Enseignant: Clémence

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Loi des sinus : formules et applications

Définition

La loi des sinus s’applique à tous les triangles. Elle établit un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Mathématiques; Trigonométrie; 1re générale; Loi des sinus : formules et applications


Formule

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}sin(α)a​=sin(β)b​=sin(γ)c​​​

Le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est toujours le même.


Note : Deux angles peuvent avoir la même valeur de sinus. Parmi ces angles, sin−1{sin}^{-1}sin−1​ te donnera toujours l’angle aigu. Or si a2>b2+c2a^2>b^2+c^2a2>b2+c2​, l’angle α\alphaα​ est obtus.


Si l’angle α\alphaα que tu cherches est aigu : α=sin−1(x)\alpha={sin}^{-1}(x)α=sin−1(x)​.

Si l’angle α\alphaα que tu cherches est obtus : α=180°−sin−1(x)\alpha=180°-sin-1(x)α=180°−sin−1(x)​.



Appliquer la loi du sinus et du cosinus

Le tableau suivant compare la loi du sinus et la loi du cosinus vu dans une leçon précédente. Il montre quelle loi utiliser afin de déterminer les valeurs manquantes dans un triangle donné.

​Côtés/angles donnés​

Ensemble de solutions

Loi possible

Un côté et deux angles 

Solution unique

Loi des sinus

Deux côtés et un angle

Angle adjacent aux deux cotés donnés

Solution unique

Loi des cosinus

Angle adjacent au plus long des côtés donnés

Pas de solution unique

Loi des sinus

Angle adjacent au plus court des côtés donnés

Solution unique

Loi des sinus

Tous les côtés

Solution unique

Loi des cosinus

Tous les angles

Pas de solution unique

-


Exemple 

Détermine les côtés et l’angle manquants du triangle avec les valeurs a=5 cma=5\ cma=5 cm​, α=30°\alpha=30°α=30°​ et β=70°\beta=70°β=70°​.

La somme des angles est égale à 180°180°180°​ :

γ=180°−30°−70°=80°‾\gamma=180°-30°-70°=\underline{80°}γ=180°−30°−70°=80°​​​


Loi des sinus pour bbb​ :

​5cmsin(30°)=bsin(70°)\frac{5 cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}sin(30°)5cm​=sin(70°)b​​​


​b=5cm×sin(70°)sin(30°)b=\frac{5 cm×sin(70°)}{sin(30°)}b=sin(30°)5cm×sin(70°)​​​


​b≈9,40 cm‾b\approx\underline{9,40\ cm}b≈9,40 cm​​​


Loi des sinus pour ccc​ :

5cmsin(30°)=csin(80°)\frac{5 cm}{sin(30°)}=\frac{c}{sin(80°)}sin(30°)5cm​=sin(80°)c​​​


c=5cm×sin(80°)sin(30°)c=\frac{5 cm×sin(80°)}{sin(30°)}c=sin(30°)5cm×sin(80°)​​​


c≈9,85 cm‾c\approx\underline{9,85\ cm}c≈9,85 cm​​​


Exemple 

Détermine le côté et les angles manquants du triangle avec les valeurs α=30°\alpha=30°α=30°​, b=10 cmb=10\ cmb=10 cm​ et c=7 cmc=7\ cmc=7 cm​.


Loi des cosinus pour aaa​ :

a2=102+72−2×10×7×cos30°a^2={10}^2+7^2-2\times10\times7\times cos30°a2=102+72−2×10×7×cos30°​​


a≈5,27 cm‾a\approx\underline{5,27\ cm}a≈5,27 cm​​​


Calcule l’angle β\betaβ​ avec la loi des sinus :

5,27cmsin(30°)=10cmsin(β)\frac{5,27 cm}{sin(30°)}=\frac{10 cm}{sin(β)}sin(30°)5,27cm​=sin(β)10cm​​​


sin(β)=sin(30°)×10cm5,27cmsin\left(\beta\right)=\frac{sin(30°)×10cm}{5,27cm}sin(β)=5,27cmsin(30°)×10cm​​​


Attention, β\betaβ​ est un angle obtus, car b2>a2+c2b^2>a^2+c^2b2>a2+c2​ ! Cela signifie que l’angle que tu cherches est :


β=180°−sin−1(sin(30°)×10cm5,29cm)\beta=180°-sin^{-1}(\frac{sin(30°)×10cm}{5,29cm})β=180°−sin−1(5,29cmsin(30°)×10cm​)​​


β≈108,35°‾\beta\approx \underline{108,35°}β≈108,35°​​​

La somme des angles est égale à 180°180°180°​ : 

γ=180°−30°−108,35°=41,65°‾\gamma=180°-30°-108,35°=\underline{41,65°}γ=180°−30°−108,35°=41,65°​​​




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Questions fréquemment posées sur les crédits

Quelle loi utiliser lorsque l'on connaît un côté et deux angles ?

La loi des sinus.

Deux angles peuvent-ils avoir le même sinus ?

Oui. Parmi ces angles, 〖sin〗^(-1) te donnera toujours l’angle aigu. Or si a^2>b^2+c^2, l’angle α est obtus.

Qu'est-ce que la loi des sinus ?

a/sin(α) =b/sin(β) =c/sin(γ) Le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est toujours le même.

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