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Loi des sinus : formules et applications

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Résumé

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Loi des sinus : formules et applications

Définition

La loi des sinus s’applique à tous les triangles. Elle établit un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Formule

$\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}$

Le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est toujours le même.

Note : Deux angles peuvent avoir la même valeur de sinus. Parmi ces angles, ${sin}^{-1}$ te donnera toujours l’angle aigu. Or si $a^2>b^2+c^2$ , l’angle $\alpha$ est obtus.

Si l’angle $\alpha$ que tu cherches est aigu : $\alpha={sin}^{-1}(x)$ .

Si l’angle $\alpha$ que tu cherches est obtus : $\alpha=180°-sin-1(x)$ .

Appliquer la loi du sinus et du cosinus

Le tableau suivant compare la loi du sinus et la loi du cosinus vu dans une leçon précédente. Il montre quelle loi utiliser afin de déterminer les valeurs manquantes dans un triangle donné.

Côtés/angles donnés		Ensemble de solutions	Loi possible
Un côté et deux angles		Solution unique	Loi des sinus
Deux côtés et un angle	Angle adjacent aux deux cotés donnés	Solution unique	Loi des cosinus
	Angle adjacent au plus long des côtés donnés	Pas de solution unique	Loi des sinus
	Angle adjacent au plus court des côtés donnés	Solution unique	Loi des sinus
Tous les côtés		Solution unique	Loi des cosinus
Tous les angles		Pas de solution unique	-

Exemple

Détermine les côtés et l’angle manquants du triangle avec les valeurs $a=5\ cm$ , $\alpha=30°$ et $\beta=70°$ .

La somme des angles est égale à $180°$ :

$\gamma=180°-30°-70°=\underline{80°}$

Loi des sinus pour $b$ :

$\frac{5 cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}$

$b=\frac{5 cm×sin(70°)}{sin(30°)}$

$b\approx\underline{9,40\ cm}$

Loi des sinus pour $c$ :

$\frac{5 cm}{sin(30°)}=\frac{c}{sin(80°)}$

$c=\frac{5 cm×sin(80°)}{sin(30°)}$

$c\approx\underline{9,85\ cm}$

Exemple

Détermine le côté et les angles manquants du triangle avec les valeurs $\alpha=30°$ , $b=10\ cm$ et $c=7\ cm$ .

Loi des cosinus pour $a$ :

$a^2={10}^2+7^2-2\times10\times7\times cos30°$

$a\approx\underline{5,27\ cm}$

Calcule l’angle $\beta$ avec la loi des sinus :

$\frac{5,27 cm}{sin(30°)}=\frac{10 cm}{sin(β)}$

$sin\left(\beta\right)=\frac{sin(30°)×10cm}{5,27cm}$

Attention, $\beta$ est un angle obtus, car $b^2>a^2+c^2$ ! Cela signifie que l’angle que tu cherches est :

$\beta=180°-sin^{-1}(\frac{sin(30°)×10cm}{5,29cm})$

$\beta\approx \underline{108,35°}$

La somme des angles est égale à $180°$ :

$\gamma=180°-30°-108,35°=\underline{41,65°}$

Loi des sinus : formules et applications

Définition

La loi des sinus s’applique à tous les triangles. Elle établit un rapport entre les longueurs des côtés et les angles.

Formule

$\frac{a}{sin\left(\alpha\right)}=\frac{b}{sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{sin\left(\gamma\right)}$

Le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est toujours le même.

Note : Deux angles peuvent avoir la même valeur de sinus. Parmi ces angles, ${sin}^{-1}$ te donnera toujours l’angle aigu. Or si $a^2>b^2+c^2$ , l’angle $\alpha$ est obtus.

Si l’angle $\alpha$ que tu cherches est aigu : $\alpha={sin}^{-1}(x)$ .

Si l’angle $\alpha$ que tu cherches est obtus : $\alpha=180°-sin-1(x)$ .

Appliquer la loi du sinus et du cosinus

Le tableau suivant compare la loi du sinus et la loi du cosinus vu dans une leçon précédente. Il montre quelle loi utiliser afin de déterminer les valeurs manquantes dans un triangle donné.

Côtés/angles donnés		Ensemble de solutions	Loi possible
Un côté et deux angles		Solution unique	Loi des sinus
Deux côtés et un angle	Angle adjacent aux deux cotés donnés	Solution unique	Loi des cosinus
	Angle adjacent au plus long des côtés donnés	Pas de solution unique	Loi des sinus
	Angle adjacent au plus court des côtés donnés	Solution unique	Loi des sinus
Tous les côtés		Solution unique	Loi des cosinus
Tous les angles		Pas de solution unique	-

Exemple

Détermine les côtés et l’angle manquants du triangle avec les valeurs $a=5\ cm$ , $\alpha=30°$ et $\beta=70°$ .

La somme des angles est égale à $180°$ :

$\gamma=180°-30°-70°=\underline{80°}$

Loi des sinus pour $b$ :

$\frac{5 cm}{sin(30°)}=\frac{b}{sin(70°)}$

$b=\frac{5 cm×sin(70°)}{sin(30°)}$

$b\approx\underline{9,40\ cm}$

Loi des sinus pour $c$ :

$\frac{5 cm}{sin(30°)}=\frac{c}{sin(80°)}$

$c=\frac{5 cm×sin(80°)}{sin(30°)}$

$c\approx\underline{9,85\ cm}$

Exemple

Détermine le côté et les angles manquants du triangle avec les valeurs $\alpha=30°$ , $b=10\ cm$ et $c=7\ cm$ .

Loi des cosinus pour $a$ :

$a^2={10}^2+7^2-2\times10\times7\times cos30°$

$a\approx\underline{5,27\ cm}$

Calcule l’angle $\beta$ avec la loi des sinus :

$\frac{5,27 cm}{sin(30°)}=\frac{10 cm}{sin(β)}$

$sin\left(\beta\right)=\frac{sin(30°)×10cm}{5,27cm}$

Attention, $\beta$ est un angle obtus, car $b^2>a^2+c^2$ ! Cela signifie que l’angle que tu cherches est :

$\beta=180°-sin^{-1}(\frac{sin(30°)×10cm}{5,29cm})$

$\beta\approx \underline{108,35°}$

La somme des angles est égale à $180°$ :

$\gamma=180°-30°-108,35°=\underline{41,65°}$

Foire aux questions (FAQ)

FAQs

Question : Quelle loi utiliser lorsque l'on connaît un côté et deux angles ?

Réponse : La loi des sinus.
Question : Deux angles peuvent-ils avoir le même sinus ?

Réponse : Oui. Parmi ces angles, 〖sin〗^(-1) te donnera toujours l’angle aigu. Or si a^2>b^2+c^2, l’angle α est obtus.
Question : Qu'est-ce que la loi des sinus ?

Réponse : a/sin(α) =b/sin(β) =c/sin(γ) Le rapport entre un côté et le sinus de l’angle opposé est toujours le même.

Théorie

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Définition

Formule

Appliquer la loi du sinus et du cosinus

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Ensemble de solutions

Loi possible

Exemple

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Exemple

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