Cercle trigonométrique

Définition

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 grâce auquel tu peux lire le sinus, le cosinus et la tangente d’un angle.

Dessine ton angle $$\alpha$$​ au-dessus de l’axe des $$x$$​ s’il est positif, ou en-dessous s’il est négatif. On mesure l’angle en tournant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (on appelle ce sens : sens trigonométrique).

Sinus et cosinus

En utilisant le point d’intersection $$P$$​ entre la droite définissant l’angle et le cercle unité, on peut lire les valeurs du sinus et du cosinus.

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Tangente

En utilisant le point d’intersection Q entre la droite définissant l’angle et la tangente au cercle parallèle à l’axe des $$y$$​, on peut lire les valeurs de la tangente.

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Radian

Il existe une autre unité que le degré pour calculer un angle : le radian. Place ton angle sur le cercle trigonométrique comme indiqué plus haut. La longueur de l’arc de cercle intercepté est ta mesure en radian, sachant que le périmètre total est de $$2\pi$$​. 

Pour convertir les degrés en radians et vice-versa :

MÉTHODE

Exemples

Un angle de $$180°$$​ vaut $$180°×2π∶360°=\frac{2π}{2}=π$$​ radians.

Un angle de $$\frac{\pi}{2}$$​  radians vaut $$\frac{\pi}{2}\times360°∶2π=90°$$​.

Méthode pour les exercices types

Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente

Déterminer les valeurs du cosinus, du sinus et de la tangente d’angle donné à l’aide du cercle trigonométrique.

MÉTHODE

Exemple 

Angle $$\alpha=180°$$​

Dans le cercle unité :

Lire les valeurs :

$$sin{\left(\alpha\right)}=0\\cos{\left(\alpha\right)}=-1\\tan(\alpha)=0$$​​

Déterminer l’angle

Comment déterminer un angle à partir d’une valeur donnée du cosinus ?

MÉTHODE

Note : Si la valeur donnée est le sinus, applique la même méthode en utilisant une droite perpendiculaire à l’axe des sinus (l’axe des y).

Exemple 

$$cos(\alpha)=0,5$$​​

Dessine la droite passant par 0,5 :

Lis les angles correspondants :

Angles :

$$\alpha=60°$$​ ou $$\alpha=300°$$​

Propriétés importantes

RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Si certaines valeurs du cosinus, du sinus ou de la tangente sont déjà connues, on peut aussi déterminer les valeurs d’autres angles en considérant la géométrie du cercle.

Exemple  

$$cos(120°)=-0,5$$, détermine $$cos(60°)$$ :

Fonctions trigonométriques 

Sinus, cosinus et tangente peuvent également être interprétés comme des fonctions, qu’on appelle fonctions trigonométriques, où la valeur $$x$$​ représente l'angle en radians.

Sinus $$\mathbf{sin}\left(\mathbf{x}\right)$$​ 

Cosinus 

Tangente