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Objectifs d'apprentissage

Mathématiques

Volume et aire : mesure manquante et solides composés

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Résumé

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Volume et aire : mesure manquante et solides composés

Définition

Volume

Le volume d’un objet représente la portion d’espace qu’il occupe.

Unités de mesure

L’unité de volume	le mètre cube ( $m^3$	$2\ mm^3, 7\ {cm}^3, 0,5\ {dm}^3$
L’unité de contenance	le litre ( $l$ )	$99\ ml, 2\ cl, 3,5\ dl, 1,3\ l$

Surface

La surface d’un objet est la somme des aires de ses faces extérieures. La surface se mesure en ${km}^2,\ m^2,\ {cm}^2,\ {mm}^2$ etc.

Calcul du volume et de la surface

Pavé droit

Toutes les faces sont des rectangles (elles peuvent donc aussi être des carrés). Tous les côtés parallèles ont la même longueur.

$Volume=longueur\times largeur\times hauteur$

Volume : $V=a\times b\times c$

Les faces opposées ont la même aire. Il suffit donc de calculer l’aire des trois différentes faces puis de multiplier chacune par deux pour obtenir la surface du pavé droit.

$Surface=2\times{(A}_1+A_2+A_3)$

Surface : $A=2\times(a\times b+a\times c+b\times c)$

Mathématiques; Représenter l'espace; 6e; Volume et aire : mesure manquante et solides composés

Calculer le volume d’un pavé droit

1.	Détermine la longueur, la largeur et la hauteur.
2.	Multiplie ces trois valeurs.

Calculer la surface d’un pavé droit

1.	Sépare les différentes faces du solide.
2.	Détermine la longueur et largeur de chaque face rectangulaire.
3.	Calcule l’aire de chaque face.
4.	Additionne les aires.

Exemple

Pavé droit dont les côtés mesurent $a=5\ cm, b=3\ cm\ et\ c=2\ cm.$ 

Volume :

$V=5\ cm\times3\ cm\times2\ cm=\underline{30\ cm^3}$ 

Surface :

Le pavé droit est composé de $6$ faces. Ces faces sont des rectangles. Il y a $3$ paires de faces.

Calcule l’aire des trois différentes faces :

A_1 = 2\ cm\times3\ cm=6\ {cm}^2\\A_2 = 2\ cm\times5\ cm=10{\ cm}^2\\A_3 = 3\ cm\times5\ cm=15\ {cm}^2

Additionne l’aire des six faces :

A = 2\times{(A}_1+A_2+A_3)\\\ \ \ \ = 2\times\left(6\ {cm}^2+10\ {cm}^2+15{\ cm}^2\right)\\\ \   = \underline{62{\ cm}^2}

Déterminer une mesure manquante

Dans certains exercices, le volume est donné et il est demandé de trouver la longueur d’un côté.

Parmi la longueur, la largeur et la hauteur, deux valeurs sont données. Pour trouver la troisième, divise le volume par ces deux valeurs.

Exemple

Pavé de $30cm^3$ dont la longueur est de $5cm$ et la largeur de $2cm.$ 

Calcule la hauteur :

$30∶5∶2=3\ cm$ 

Méthode pour les solides composés de pavés droits

Calculer le volume

1.	Divise le solide en pavés droits.
2.	Détermine les longueurs nécessaires au calcul du volume des différents pavés droits (longueur, largeur et hauteur).
3.	Calcule le volume de chaque pavé droit.
4.	Additionne les volumes.

Exemple

Volumes individuels :

$V_1=7\times4\times3=84\ cm^3\\V_2=4\times4\times3=48\ cm^3\\V_3=4\times6\times2=48\ cm^3$

Volume total :

$V=84\ cm^3+48\ cm^3+48\ cm^3=\underline{180\ cm^3}$

Calculer la surface

1.	Sépare les différentes faces du solide.
2.	Détermine les longueurs nécessaires pour calculer l’aire de chaque face (longueur et largeur). Si nécessaire, divise les faces en rectangles.
3.	Calcule l’aire de chaque rectangle.
4.	Additionne les aires.

Exemple

Aires individuelles :

$A_1=2\times4=8\ cm^2\\A_2=4\times4=16\ cm^2\\A_3=5\times4+2\times2=24\ cm^2\\A_4=4\times5=20\ cm^2\\A_5=4\times6=24\ cm^2\\A_6=5\times4+2\times2=24\ cm^2\\A_7=2\times4=8\ cm^2\\A_8=3\times4=12\ cm^2$

Aire totale :

$A=2\times8\ cm^2+16\ cm^2+3\times24\ cm^2+20\ cm^2+12\ cm^2=\underline{136\ cm^2}$

Volume et aire : mesure manquante et solides composés