Volume et aire : mesure manquante et solides composés

Définition

Volume

Le volume d’un objet représente la portion d’espace qu’il occupe.

Unités de mesure 

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Surface

La surface d’un objet est la somme des aires de ses faces extérieures. La surface se mesure en $${km}^2,\ m^2,\ {cm}^2,\ {mm}^2$$​ etc.

Calcul du volume et de la surface

Pavé droit  

Toutes les faces sont des rectangles (elles peuvent donc aussi être des carrés). Tous les côtés parallèles ont la même longueur.

$$Volume=longueur\times largeur\times hauteur$$​​

Volume : $$V=a\times b\times c$$​

Les faces opposées ont la même aire. Il suffit donc de calculer l’aire des trois différentes faces puis de multiplier chacune par deux pour obtenir la surface du pavé droit. 

$$Surface=2\times{(A}_1+A_2+A_3)$$​​

Surface : $$A=2\times(a\times b+a\times c+b\times c)$$

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Calculer le volume d’un pavé droit

Calculer la surface d’un pavé droit

Exemple 

Pavé droit dont les côtés mesurent $$a=5\ cm, b=3\ cm\ et\ c=2\ cm.$$​

Volume : $$V=5\ cm\times3\ cm\times2\ cm=\underline{30\ cm^3}$$​​ Surface : Le pavé droit est composé de $$6$$​ faces. Ces faces sont des rectangles. Il y a $$3$$​ paires de faces. Calcule l’aire des trois différentes faces : $$A_1 = 2\ cm\times3\ cm=6\ {cm}^2\\A_2 = 2\ cm\times5\ cm=10{\ cm}^2\\A_3 = 3\ cm\times5\ cm=15\ {cm}^2$$​​ Additionne l’aire des six faces : $$A = 2\times{(A}_1+A_2+A_3)\\\ \ \ \ = 2\times\left(6\ {cm}^2+10\ {cm}^2+15{\ cm}^2\right)\\\ \   = \underline{62{\ cm}^2}$$​​

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Déterminer une mesure manquante

Dans certains exercices, le volume est donné et il est demandé de trouver la longueur d’un côté.

Parmi la longueur, la largeur et la hauteur, deux valeurs sont données. Pour trouver la troisième, divise le volume par ces deux valeurs.

Exemple 

 Pavé de $$30cm^3$$​ dont la longueur est de $$5cm$$​ et la largeur de $$2cm.$$​

Calcule la hauteur :

$$30∶5∶2=3\ cm$$​​

Méthode pour les solides composés de pavés droits

Calculer le volume

Exemple 

Volumes individuels :

$$V_1=7\times4\times3=84\ cm^3\\V_2=4\times4\times3=48\ cm^3\\V_3=4\times6\times2=48\ cm^3$$​​

Volume total :

$$V=84\ cm^3+48\ cm^3+48\ cm^3=\underline{180\ cm^3}$$​​

Calculer la surface

Exemple

Aires individuelles :

$$A_1=2\times4=8\ cm^2\\A_2=4\times4=16\ cm^2\\A_3=5\times4+2\times2=24\ cm^2\\A_4=4\times5=20\ cm^2\\A_5=4\times6=24\ cm^2\\A_6=5\times4+2\times2=24\ cm^2\\A_7=2\times4=8\ cm^2\\A_8=3\times4=12\ cm^2$$​​

Aire totale :

$$A=2\times8\ cm^2+16\ cm^2+3\times24\ cm^2+20\ cm^2+12\ cm^2=\underline{136\ cm^2}$$​​

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